Granična vrijednost funkcije

Za druga značenja, pogledajte Granična vrijednost (čvor).

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana u nuli, kako x postaje sve bliži i bliži nuli, tako (sin x)/x postaje proizvoljno blizu 1. Drugim riječima,granična vrijednost (sin x)/x kako se x približava nuli jednaka je 1.

U matematici, granična vrijednost funkcije je osnovni način određivanja vrijednosti u kalkulusu i matematičkoj analizi, a koje se odnose na ponašanje te funkcije u određenoj ulaznoj tački. Funckija f(x) ima graničnu vrijednost l u tački p ako je vrijednost f(x) približno jednaka l (kada je x približno p). Pojam granične vrijednosti ima višestruku upotrebu u modernim kalkulusu. Konkretno, pri definisanju mnogih neprekidnih funkcija koristi se granična vrijednost: otprilike, funkcija je neprekidna ako se sve njene granične vrijednosti slažu s vrijednostima funkcije. Ona se pojavljuje u definiciji derivacija: u kalkulusu sa jednom promjenljivom, to je granična vrijednost nagiba presjeka linija na grafu funkcije. Prve definicije, koje su se pojavite u ranom 19. vijeku, su napisane u tekstu ispod.

Definicije

Funkcije na skupu realnih brojeva

Pretpostavimo da je f : R → R funkcija definisana u skupu realnih brojeva i da p,l ∈ R; tada kažemo: limes funkcije f ako x teži p je l, a to se piše:

$\lim _{x\to p}f(x)=l$

ako i samo ako za svako realno ε > 0 postoji realno δ > 0 takvo da je | f(x) - l | < ε kada 0 < | x - p | < δ. Nije nužno da f(p) bude definisana.

x može težiti p odozgo (desno) ili odozdo (lijevo), kada se limes piše kao:

$\lim _{x\to p^{+}}f(x)=l$

ili

$\lim _{x\to p^{-}}f(x)=l$

respektivno. Ako su ova dva limesa jednaka sa l, tada pišemo limes od f(x) za p. Ako limesi nisu jednaki sa l, tada limesi, kao takvi, ne postoje.

Funkcije u metričkom prostoru

Pretpostavimo je f : (M,d_M) → (N,d_N) definisana između dva metrička prostora, sa x ∈ M, a p tačka gomilanja od M i l ∈ N. Tada kažemo da je granična vrijednost f, kada x teži p, l i pišemo

$\lim _{x\to p}f(x)=l$

ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je d_N(f(x), l) < ε kada je 0 < d_M(x, p) < δ. p ne mora biti u domeni od f, niti l mora biti u rangu od f.

Altervativna definicja, koja koristi koncept susjednosti članova, glasi:

$\lim _{x\to p}f(x)=l$

ako i samo ako sa svaki susjedni član V od l u N postoji susjedni član U od p u M, takav da je f(U - {p}) ⊆ V.

Funkcije u topološkom prostoru

Pretpostavimo da su X i Y topološki prostori, gdje je Y Hausdorffov prostor. Neka p bude tačka gomilanja od X, i l ∈Y i f : X - {p} → Y funkcija. Tada kažemo da je granična vrijednost f, ako x teži p, 'l i pišemo

$\lim _{x\to p}f(x)=l$

ako i samo ako za svaki susjedni član V od l, postoji susjedni član U od p takav da je f(U - {p}) ⊂ V.

Limes funkcija u beskonačnosti

Granična vrijednost funkcije postoji za svako ε > 0 postoji S > 0, takvo da je | f(x) - L | < ε za svako x > S.

Ako se posmatra linija proširenog sistema realnih brojeva R koja je označena sa R ∪ {-∞, +∞}, onda je moguće odrediti granice funkcije u beskonačnosti.

Uzmimo da je f(x) stvarna vrijednost funkcije takva da se x može povećavati ili smanjivati neograničeno, onda kažemo da granična vrijednost f dok x prilazi beskonačnosti jednaka L i pišemo

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji S > 0 tako da je | f(x) - L | < ε kad je x > S.

Slično tome, kažemo za graničnu vrijednost od f dok x prilazi beskonačnosti da je beskonačna i pišemo

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$

ako i samo ako za svaki R > 0 postoji S > 0 tako da za sve realne brojeve f(x) > R kad je x > S.

Tako se na uporedan način mogu odrediti sljedeći izrazi:

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L,\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty ,\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.

Računanje granične vrijednosti u beskonačnosti

Postoje tri osnovna pravila kod određivanja graničnih vrijednosti racionalnih funkcija u beskonačnosti f(x) = p(x)/q(x):

• Ako je stepen p veći od stepena q, onda je granica pozitivna ili negativna beskonačnost zavisno od predznaka vodećih koeficijenata.
• Ako su stepeni p i q jednaki, granica se onda dobija dijeljenjem vodećeg koeficijenta p sa vodećim koeficijento q.
• Ako je stepen p manji od stepena q, onda je granica jednaka 0.

Ako postoji granična vrijednost u beskonačnosti, ona je onda predstavljena horizontalnom asimptotom x = L. Polinomi nemaju horizontalne asimptote, ali se one mogu pojaviti kod racionalnih funkcija.

Kompleksne funkcije

Kompleksna ravan sa metričkim vrijednostima $d(x,y):=|x-y|$ je također metrički prostor. Postoje dvije različite vrste graničnih vrijednosti kada uzmemo u obzir funkcije sa kompleksnim vrijednostima.

Granična vrijednost funkcije u tački

Uzmimo da je f funkcija sa kompleksnom vrijednošću, onda pišemo da

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji δ >0 za sve realne brojeve x sa 0<|x-p|<δ, onda imamo da je |f(x)-L|<ε

To je samo poseban slučaj funkcije preko metričkih prostora sa M i N koji su u kompleksnoj ravnini.

Granična vrijednost funkcije sa više promjenljivih

Predstavljajući |x-p| kao udaljenost, onda se definicija granične vrijednosti može proširiti i na funkcije sa više promjenljivih. Na primjeru funkctije f : R² → R,

$\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L$

ako i samo ako

za svaki ε > 0 onda postoji δ > 0 takav gdje (x,y) sa 0 < ||(x,y)-(p,q)|| < δ, imamo |f(x,y)-L| < ε

gdje ||(x,y)-(p,q)|| predstavlja Euklidsku udaljenost. Ovo se može primijeniti na bilo koji broj promjenljivih.

Osobine

Za graničnu vrijednost funkcije F na P je L kažemo da je jednaka: kada je svaki konvergentni niz (x_n) u M sa graničnom vrijednošću niza jednak p, onda je niz (f(x_n)) konvergentan sa graničnom vrijednošću L.

Ako skupovi A, B, ... stvaraju konačnu podjelu domena funkcije, $x\in {\overline {A}}\land x\in {\overline {B}}$, ... i relativna granična vrijednost za svaki od tih skupova jednaka je L, onda je i granična vrijednost u tački x jednaka L. Funkcija f je neprekidna u p ako i samo ako f(x) dok x teži (konvergira) p postoji i konačna je. Isto tako, f mijenja svaki niz u M koji teži p u niz N koji teži f(p).

Opet, ako je N normirani vektorski prostor, onda je operacija granične vrijednosti linearna u sljedećim smislu: ako je granična vrijednost f (x) kada x teži p je L i granična vrijednost g (x) kada x teži p je P, onda je granična vrijednost F (x) + g (x) kada x teži p je L + P. Ako je a skalar iz osnove polja, onda je granična vrijednost af (x) kada x teži p jednaka aL.

Uzimajući da su granične vrijednosti funkcija u skladu sa algebarskim operacijama, pod uslovom da su granične vrijednosti na desnoj strani izraza ispod stoji da su:

${\begin{matrix}\lim _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\lim _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\lim _{x\to p}&(f(x)g(x))&=&\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\lim _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}$

Gornji izraz vrijedi ako je denominator različit od nule. Na osnovu gore navedenog, u slučaju kada ne postoje ograničenja na desnoj strani, ili kao u posljednjem slučaju, kada su granične vrijednosti u brojniku i nazivniku nula. Ipak, ograničenje na lijevoj strani i dalje može postojati, a to zavisi o funkcijama F i G .

Ova pravila također vrijede za jednostrane granične vrijednosti, kao u slučaju p = ±∞, kao i za beskonačne granične vrijednosti koristeći pravila:

• q + ∞ = ∞ for q ≠ -∞
• q × ∞ = ∞ if q > 0
• q × ∞ = −∞ if q < 0
• q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

(pogledati Prošireni niz realnih brojeva).

Obratiti pažnju da nema opšteg pravila za q / 0; to sve zavisi od načina prilaska 0. Neodređeni oblici — kao na primjer, 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞ — također ne potpadaju pod ova pravila, ali odgovarajuće granične vrijednosti često mogu biti određene sa L'Hôpitalovim pravilom ili Teoremom stiska.

Također pogledajte

• Granična vrijednost realnih funkcija
• Granična vrijednost niza
• Limes superior i limes inferior

Reference

• MacTutor History of Weierstrass.
• MacTutor History of Bolzano
• Visual Calculus Arhivirano 24. 9. 2011. na Wayback Machine by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)
• Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. ISBN 0-201-00288-4.
• Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third izd.), New York: McGraw–Hill, str. 558–559, ISBN 0-07-009465-9
• Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 107 (9): 844–862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743.
• Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag
• Grabiner, Judith V. (1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, collected in Who Gave You the Epsilon? ISBN 978-0-88385-569-0 pp. 5–13CS1 održavanje: postscript (link). Also aviable here: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
• Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press
• Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, pristupljeno 18. 12. 2008.
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ured. (2002), "Media Highlights", The College Mathematics, Mathematical Association of America, 33 (2): 147–154, JSTOR Journal 2687124 Journal .
• Sutherland, W. A., Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press, Oxford, 1975. ISBN 0-19-853161-3.
• Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill
• Whittaker; Watson (1904), A course of modern analysis, Cambridge University Press