Alternativni red
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Dio serije članaka o |
Infinitezimalnom računu |
---|
U matematici, alternativni red je beskonačni red članova
gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|.
Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red
divergira, dok alternativni red
konvergira u prirodni logaritam od 2.
Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz ponotono opadajući teži nuli, tada red
konvergira.
može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od . Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je , imamo
(niz koji monotono opada osigurava da je ; primijetite da se mora voditi računa da li je parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)
Pošto je kada je , niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od , to također pokazuje da je
Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.