Alternativni red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

divergira, dok alternativni red

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz ponotono opadajući teži nuli, tada red

konvergira.

Parcijalna suma

može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od . Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je , imamo


(niz koji monotono opada osigurava da je ; primijetite da se mora voditi računa da li je parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je kada je , niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od , to također pokazuje da je

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]