Pravilo derivacije količnika

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija f(x) ta koju deriviramo, može se pisati kao:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

gdje je h(x)0, tada je derivacija fnkcije g(x)/h(x) jednaka:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.

Ili, prezicnije, za svako x u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži a, uz h(a)0; i da postoje i g'(a) i h'(a); tada, f'(a) također postoji:

f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Derivacija od (4x - 2)/(x^2 + 1) je:

\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1} =\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}

U gornjem primjeru, odabrali smo

g(x) = 4x - 2
h(x) = x^2 + 1

Analogijski, derivacija \sin(x)/x^2 (kada je x ≠ 0) je:


\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

 f(x) = \frac{2x^2}{x^3}

gdje imamo g(x) = 2x^2 i h(x) = x^3, te g'(x) = 4x i h'(x) = 3x^2.

Derivacija f(x) se računa na sljedeći način:

f'(x)\, =\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}
=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
=\frac{-2x^4}{x^6}
=-\frac{2}{x^2}

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo funkciju f(x) = g(x)/h(x)
gdje je h(x)≠ 0 i gdje su funkcije g i h diferencijabilne.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}
= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}
= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]