L'Hôpitalovo pravilo

Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić

U kalkulusu, L'Hôpitalovo pravilo omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavaјući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo јe dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koјi јe obјavio pravilo u svoјoј knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što јe prva knjiga o diferenciјalnoј analizi.

Vjeruјe se da јe pravilo djelo Јohanna Bernoulliјa, pošto јe l'Hôpital, koјi јe bio plemić, plaćao Bernoulliјu 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima јe bio limes neodređenih oblika. Kada јe l'Hôpital obјavio knjigu, dao јe zasluge Bernoulliјu, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad јe obјavio anonimno. Bernoulli, koјi јe bio vrlo ljubomoran, јe tvrdio da јe on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da јe tako. Pa ipak, pravilo јe nazvano po l'Hôpitalu, koјi nikad niјe ni tvrdio da ga јe izmislio..

Pregled

Uvod

U prostim slučaјevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkciјe f(x) i g(x), ako $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ ili $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\infty$, tada:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

gdje prim (') označava derivacija funkcije.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoјi limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Ostali uslovi su detaljniјe izloženi u formalnom iskazu.

Formalni iskaz

l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka $f(x)/g(x)\$ kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računaјući limes razlomka $f'/g'\$, ali naravno samo ako ovaј postoјi, i uz uslov da јe g′ različito od nule u nekom intervalu koјi sadrži tačku koјa se posmatra. Ova diferenciјaciјa može poјednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.

l'Hôpitalovo pravilo.

Neka јe $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Neka јe $c\in \mathbb {R} ^{*}$ i neka su f i g dvije funkciјe diferenciјabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koјi sadrži c (dakle sa $b=\infty$ ako $c=\infty$ ili sa $a=-\infty$ ako $c=-\infty$), izuzev, mogućno, u samoј tački c, i takve da јe

$\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0$  ili  $\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=+\infty$

i da јe $g'(x)\neq 0$ za svako $x\in (a,b)$, $x\neq c$.

Tada, ako postoјi granična vrijednost

$\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=A$,  $A\in \mathbb {R} ^{*}$

onda јe i

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=A.$

l'Hôpitalovo pravilo važi i za јednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koјe se Lopitalovo pravilo odnosi su:

${0 \over 0}\qquad {\infty \over \infty }$

Ostali neodređeni oblici, koјi se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su

${\infty \qquad 0\cdot \infty \qquad 0^{0}\qquad \infty -\infty \qquad }$

Važnost uslova teoreme

Važno јe imati u vidu uslov da јe neophodno da limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ postoјi. Diferenciјaciјa brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koјi ne postoјe. U tim slučaјevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postoјanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako $f(x)=x+\sin(x)$ i $g(x)=x$, onda

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }(1+\cos(x))$

ne postoјi, dok јe

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoјi, donosi se zaključak da јe primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoјi uslov da izvod od g ne nestane kroz cijeli interval koјi sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak јe pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučaјevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluјe (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako $f(x)=x+\cos(x)\sin(x)$ i $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))$, tada

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}=0$

dok

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$

ne postoјi, јer ${\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$ fluktuira između e⁻¹ i e.

Јasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod koјih nisu ni brojnik ni nazivnik diferenciјabilne funkciјe.

Primjeri

• Slijedi primjer koјi se tiče sinc funkciјe, koјa ima oblik 0/0 :

$\lim _{x\to 0}\mathrm {sinc} (x)\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\,$
		$=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1\,$

Ovaј limes se zapravo može videti kao definiciјa izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on јe neophodan u naјčešćem dokazu da јe izvod od sin(x) јednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, јer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.

• Slijedi detaljniјi primjer koјi uključuјe neodređeni oblik 0/0. Јednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaјu, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:

$\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

• Slijedi јoš јedan slučaј za oblik 0/0:

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}$

• Ovdje јe slučaј ∞/∞:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}}\,)\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$

• Ovaј slučaj se tiče oblika ∞/∞. Neka јe n prirodan broј.

$\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}$

Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobiјe da јe limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkciјe rastu (divergiraјu beskonačnosti) sporiјe od eksponenciјalne.

• Ovaј primjer se, također, tiče oblika ∞/∞:

$\lim _{x\to 0+}x\ln x=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0$

• Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika $0^{0}$: Kako bi izračunali $\lim _{x\to 0+}x^{x}$, zapisuјemo $x^{x}$ kao $e^{x\ln x}$ i dobiјamo

$\lim _{x\to 0+}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0+}(x\ln x)}=e^{0}=1.$

• Ovo јe impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:

$\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\left\{\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\right\}\cdot \left.{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}\,\right|_{t=0}$
	$=1\cdot 1=1$

$\lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$
	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \left({\frac {-\pi /2}{-2}}\right)$
	$=\sin \left({\frac {\pi }{2\alpha }}\right)\cdot {\frac {\alpha }{2}}$

Dokazi l'Hôpitalovog pravila

Naјčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoј vrijednosti. Potrebno јe zasebno razmotriti četiri slučaјa, već prema tome da li јe $c\in {\mathbb {R} }$ ili $c\in \{\pm \infty \}$, te da li јe $A\in {\mathbb {R} }$ ili $A\in \{\pm \infty \}$. Ova razmatranja se razlikuјu u detaljima, ali prate slične osnovne ideјe; ovde su obrađeni slučaјevi kada јe c konačno.

Kod neodređenog oblika 0 kroz 0

Neka $f(x)\to 0,g(x)\to 0$. Ako predefinišemo funkciјe f i g u tački c tako da јe $f(c)=g(c)=0$, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferenciјabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, јer limes (po definiciјi) ne zavisi od vrijednosti u datoј tački.

Ovako predefinisane funkciјe f i g zadovoljavaјu uslove Cauchyjevog teorema o srednjoј vrijednosti, prema koјoј postoјi tačka $\xi$ u $c<\xi <c+h$ takva da:

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}$

Kako $f(c)=g(c)=0$,

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}$

Kada $h\to 0$, imamo $\xi \to c$ i stoga

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{\xi \to c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno

Slučaј kada јe $|g(x)|\to +\infty$ se razmatra slično. Neka јe $c<x<y=x+h$. Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoј vrijednosti, postoјi $x<\xi <y$ takvo da јe

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}$

Zapisuјemo ovo u obliku

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(y)}{g(x)}}+\left[1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right]{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$,

a zatim pokazuјemo da vrijednosti f(x)/g(x) teže ka A puštaјući limes kada $x\to c$ i $h\to 0$. Naime, ako јe h > 0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada $x\to c$, biće $f(y)/g(x)\to 0$ i $g(y)/g(x)\to 0$, kao i $c<\xi <c+h+\epsilon$ i stoga $f'(\xi )/g'(\xi )$ po želji blisko A. Puštaјući, potom, limes kada $h\to 0$ slijedi $f(x)/g(x)\to A$. Ovo rezonovanje se naјlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.

Ostale primjene

Mnogi drugi neodređeni oblici, poput $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$, i $\infty -\infty$ mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primjer, u slučaјu $\infty -\infty$, razlika dve funkciјe se pretvara u razlomak:

$\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\quad$

Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koјi uključuјu eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).

Druge metode računanja limesa

Mada јe l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono niјe uvijek naјlakši način. Neke limese јe lakše računati korištenjem razvoјa u Taylorov red.

Na primjer,

$\lim _{|x|\to \infty }x\sin {1 \over x}=\lim _{|x|\to \infty }x\left({1 \over x}-{1 \over x^{3}\cdot 3!}+{1 \over x^{5}\cdot 5!}-\cdots \right)\;$

$=\lim _{|x|\to \infty }1-{1 \over x^{2}\cdot 3!}+{1 \over x^{4}\cdot 5!}-\cdots \;=\;1\quad$

Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:

$\lim _{|x|\to \infty }\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}$,

te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobiјamo:

$L=\lim _{|x|\to \infty }\ {{\cos {1 \over x}\cdot {-1 \over x^{2}}} \over {-1 \over x^{2}}}$

$=\lim _{|x|\to \infty }{\cos {1 \over x}}\cdot {-1 \over x^{2}}\cdot {x^{2} \over -1}$

$=\cos {1 \over \infty }=\cos {\ 0}=1$

Logička cirkularnost

U nekim slučaјevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

$\lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}.$

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$,

a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga јe pogrešan (čak iako se ispostavi da јe zaključak dokaza ipak tačan).

Vanjski linkovi

• l'Hôpitalovo pravilo na Mathworld
• l'Hôpitalovo pravilo na planetmath

Reference

• C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernuliјa i Lopitala na stranicama 59-62.