Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić
U kalkulusu, L'Hôpitalovo pravilo omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavajući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo je dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koji je objavio pravilo u svojoj knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što je prva knjiga o diferencijalnoj analizi.
Vjeruje se da je pravilo djelo Johanna Bernoullija, pošto je l'Hôpital, koji je bio plemić, plaćao Bernoulliju 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je l'Hôpital objavio knjigu, dao je zasluge Bernoulliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je objavio anonimno. Bernoulli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po l'Hôpitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio.[1].
U prostim slučajevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkcije f(x) i g(x), ako
ili
, tada:

gdje prim (') označava derivacija funkcije.
Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoji limes
. Ostali uslovi su detaljnije izloženi u formalnom iskazu.
l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka
kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računajući limes razlomka
, ali naravno samo ako ovaj postoji, i uz uslov da je g′ različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.
l'Hôpitalovo pravilo.
- Neka je
. Neka je
i neka su f i g dvije funkcije diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koji sadrži c (dakle sa
ako
ili sa
ako
), izuzev, mogućno, u samoj tački c, i takve da je
ili 
- i da je
za svako
,
.
- Tada, ako postoji granična vrijednost
, 
- onda je i

l'Hôpitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.
Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:

Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su

Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes
postoji. Diferencijacija brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postojanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako
i
, onda

ne postoji, dok je

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoji, donosi se zaključak da je primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.
Također postoji uslov da izvod od g ne nestane kroz cijeli interval koji sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluje (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako
i
, tada
|
|
|
|
dok

ne postoji, jer
fluktuira između e−1 i e.
Jasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod kojih nisu ni brojnik ni nazivnik diferencijabilne funkcije.
- Slijedi primjer koji se tiče sinc funkcije, koja ima oblik 0/0 :
|
|
|
|
|
|
- Ovaj limes se zapravo može vidjeti kao definicija izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on je neophodan u najčešćem dokazu da je izvod od sin(x) jednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.
- Slijedi detaljniji primjer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Jednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Slijedi još jedan slučaj za oblik 0/0:


- Ovaj slučaj se tiče oblika ∞/∞. Neka je n prirodan broj.

- Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraju beskonačnosti) sporije od eksponencijalne.
- Ovaj primjer se, također, tiče oblika ∞/∞:

- Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika
: Kako bi izračunali
, zapisujemo
kao
i dobijamo

- Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dokazi l'Hôpitalovog pravila[uredi | uredi izvor]
Najčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaja, već prema tome da li je
ili
, te da li je
ili
. Ova razmatranja se razlikuju u detaljima, ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je c konačno.
Kod neodređenog oblika 0 kroz 0[uredi | uredi izvor]
Neka
. Ako predefinišemo funkcije f i g u tački c tako da je
, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferencijabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrijednosti u datoj tački.
Ovako predefinisane funkcije f i g zadovoljavaju uslove Cauchyjevog teorema o srednjoj vrijednosti, prema kojoj postoji tačka
u
takva da:

Kako
,

Kada
, imamo
i stoga

Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno[uredi | uredi izvor]
Slučaj kada je
se razmatra slično. Neka je
. Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoj vrijednosti, postoji
takvo da je

Zapisujemo ovo u obliku
,
a zatim pokazujemo da vrijednosti f(x)/g(x) teže ka A puštajući limes kada
i
. Naime, ako je h > 0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada
, biće
i
, kao i
i stoga
po želji blisko A. Puštajući, potom, limes kada
slijedi
. Ovo rezonovanje se najlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.
Mnogi drugi neodređeni oblici, poput
,
, i
mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.
Na primjer, u slučaju
, razlika dve funkcije se pretvara u razlomak:




Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koji uključuju eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).
Druge metode računanja limesa[uredi | uredi izvor]
Mada je l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvijek najlakši način. Neke limese je lakše računati korištenjem razvoja u Taylorov red.
Na primjer,


Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:
,
te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobijamo:


U nekim slučajevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da
,
a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).
- ^ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.
- C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernulija i Lopitala na stranicama 59-62.