L'Hôpitalovo pravilo

Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić

U kalkulusu, L'Hôpitalovo pravilo omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavajući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo je dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koji je objavio pravilo u svojoj knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što je prva knjiga o diferencijalnoj analizi.

Vjeruje se da je pravilo djelo Johanna Bernoullija, pošto je l'Hôpital, koji je bio plemić, plaćao Bernoulliju 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je l'Hôpital objavio knjigu, dao je zasluge Bernoulliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je objavio anonimno. Bernoulli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po l'Hôpitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio..

Pregled

Uvod

U prostim slučajevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkcije f(x) i g(x), ako $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ ili $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\infty$, tada:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

gdje prim (') označava derivacija funkcije.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoji limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Ostali uslovi su detaljnije izloženi u formalnom iskazu.

Formalni iskaz

l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka $f(x)/g(x)\$ kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računajući limes razlomka $f'/g'\$, ali naravno samo ako ovaj postoji, i uz uslov da je g′ različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.

l'Hôpitalovo pravilo.

Neka je $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Neka je $c\in \mathbb {R} ^{*}$ i neka su f i g dvije funkcije diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koji sadrži c (dakle sa $b=\infty$ ako $c=\infty$ ili sa $a=-\infty$ ako $c=-\infty$), izuzev, mogućno, u samoj tački c, i takve da je

$\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0$  ili  $\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=+\infty$

i da je $g'(x)\neq 0$ za svako $x\in (a,b)$, $x\neq c$.

Tada, ako postoji granična vrijednost

$\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=A$,  $A\in \mathbb {R} ^{*}$

onda je i

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=A.$

l'Hôpitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:

${0 \over 0}\qquad {\infty \over \infty }$

Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su

${\infty \qquad 0\cdot \infty \qquad 0^{0}\qquad \infty -\infty \qquad }$

Važnost uslova teoreme

Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ postoji. Diferencijacija brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postojanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako $f(x)=x+\sin(x)$ i $g(x)=x$, onda

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }(1+\cos(x))$

ne postoji, dok je

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoji, donosi se zaključak da je primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoji uslov da izvod od g ne nestane kroz cijeli interval koji sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluje (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako $f(x)=x+\cos(x)\sin(x)$ i $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))$, tada

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}=0$

dok

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$

ne postoji, jer ${\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$ fluktuira između e⁻¹ i e.

Jasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod kojih nisu ni brojnik ni nazivnik diferencijabilne funkcije.

Primjeri

• Slijedi primjer koji se tiče sinc funkcije, koja ima oblik 0/0 :

$\lim _{x\to 0}\mathrm {sinc} (x)\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\,$
		$=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1\,$

Ovaj limes se zapravo može videti kao definicija izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on je neophodan u najčešćem dokazu da je izvod od sin(x) jednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.

• Slijedi detaljniji primjer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Jednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:

$\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

• Slijedi još jedan slučaj za oblik 0/0:

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}$

• Ovdje je slučaj ∞/∞:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}}\,)\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$

• Ovaj slučaj se tiče oblika ∞/∞. Neka je n prirodan broj.

$\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}$

Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraju beskonačnosti) sporije od eksponencijalne.

• Ovaj primjer se, također, tiče oblika ∞/∞:

$\lim _{x\to 0+}x\ln x=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0$

• Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika $0^{0}$: Kako bi izračunali $\lim _{x\to 0+}x^{x}$, zapisujemo $x^{x}$ kao $e^{x\ln x}$ i dobijamo

$\lim _{x\to 0+}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0+}(x\ln x)}=e^{0}=1.$

• Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:

$\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\left\{\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\right\}\cdot \left.{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}\,\right|_{t=0}$
	$=1\cdot 1=1$

$\lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$
	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \left({\frac {-\pi /2}{-2}}\right)$
	$=\sin \left({\frac {\pi }{2\alpha }}\right)\cdot {\frac {\alpha }{2}}$

Dokazi l'Hôpitalovog pravila

Najčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaja, već prema tome da li je $c\in {\mathbb {R} }$ ili $c\in \{\pm \infty \}$, te da li je $A\in {\mathbb {R} }$ ili $A\in \{\pm \infty \}$. Ova razmatranja se razlikuju u detaljima, ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je c konačno.

Kod neodređenog oblika 0 kroz 0

Neka $f(x)\to 0,g(x)\to 0$. Ako predefinišemo funkcije f i g u tački c tako da je $f(c)=g(c)=0$, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferencijabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrijednosti u datoj tački.

Ovako predefinisane funkcije f i g zadovoljavaju uslove Cauchyjevog teorema o srednjoj vrijednosti, prema kojoj postoji tačka $\xi$ u $c<\xi <c+h$ takva da:

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}$

Kako $f(c)=g(c)=0$,

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}$

Kada $h\to 0$, imamo $\xi \to c$ i stoga

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{\xi \to c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno

Slučaj kada je $|g(x)|\to +\infty$ se razmatra slično. Neka je $c<x<y=x+h$. Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoj vrijednosti, postoji $x<\xi <y$ takvo da je

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}$

Zapisujemo ovo u obliku

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(y)}{g(x)}}+\left[1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right]{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$,

a zatim pokazujemo da vrijednosti f(x)/g(x) teže ka A puštajući limes kada $x\to c$ i $h\to 0$. Naime, ako je h > 0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada $x\to c$, biće $f(y)/g(x)\to 0$ i $g(y)/g(x)\to 0$, kao i $c<\xi <c+h+\epsilon$ i stoga $f'(\xi )/g'(\xi )$ po želji blisko A. Puštajući, potom, limes kada $h\to 0$ slijedi $f(x)/g(x)\to A$. Ovo rezonovanje se najlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.

Ostale primjene

Mnogi drugi neodređeni oblici, poput $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$, i $\infty -\infty$ mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primjer, u slučaju $\infty -\infty$, razlika dve funkcije se pretvara u razlomak:

$\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\quad$

Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koji uključuju eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).

Druge metode računanja limesa

Mada je l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvijek najlakši način. Neke limese je lakše računati korištenjem razvoja u Taylorov red.

Na primjer,

$\lim _{|x|\to \infty }x\sin {1 \over x}=\lim _{|x|\to \infty }x\left({1 \over x}-{1 \over x^{3}\cdot 3!}+{1 \over x^{5}\cdot 5!}-\cdots \right)\;$

$=\lim _{|x|\to \infty }1-{1 \over x^{2}\cdot 3!}+{1 \over x^{4}\cdot 5!}-\cdots \;=\;1\quad$

Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:

$\lim _{|x|\to \infty }\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}$,

te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobijamo:

$L=\lim _{|x|\to \infty }\ {{\cos {1 \over x}\cdot {-1 \over x^{2}}} \over {-1 \over x^{2}}}$

$=\lim _{|x|\to \infty }{\cos {1 \over x}}\cdot {-1 \over x^{2}}\cdot {x^{2} \over -1}$

$=\cos {1 \over \infty }=\cos {\ 0}=1$

Logička cirkularnost

U nekim slučajevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

$\lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}.$

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$,

a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).

Vanjski linkovi

• l'Hôpitalovo pravilo na Mathworld
• l'Hôpitalovo pravilo na planetmath

Reference

• C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernulija i Lopitala na stranicama 59-62.