L'Hôpitalovo pravilo

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić

U kalkulusu, L'Hôpitalovo pravilo omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavaјući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo je dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koji je obјavio pravilo u svoјoј knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što je prva knjiga o diferenciјalnoј analizi.

Vjeruje se da je pravilo djelo Јohanna Bernoulliјa, pošto je l'Hôpital, koji je bio plemić, plaćao Bernoulliјu 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je l'Hôpital obјavio knjigu, dao je zasluge Bernoulliјu, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je obјavio anonimno. Bernoulli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po l'Hôpitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio.[1].

Pregled[uredi | uredi izvor]

Uvod[uredi | uredi izvor]

U prostim slučajevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkcije f(x) i g(x), ako ili , tada:

gdje prim (') označava derivacija funkcije.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoјi limes . Ostali uslovi su detaljnije izloženi u formalnom iskazu.

Formalni iskaz[uredi | uredi izvor]

l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računaјući limes razlomka , ali naravno samo ako ovaj postoјi, i uz uslov da je g′ različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferenciјaciјa može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.


l'Hôpitalovo pravilo.

Neka je . Neka je i neka su f i g dvije funkcije diferenciјabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koji sadrži c (dakle sa ako ili sa ako ), izuzev, mogućno, u samoј tački c, i takve da je
  ili  
i da je za svako , .
Tada, ako postoјi granična vrijednost
,  
onda je i

l'Hôpitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:

Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su

Važnost uslova teoreme[uredi | uredi izvor]

Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes postoјi. Diferenciјaciјa brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postoјanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako i , onda

ne postoјi, dok je

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoјi, donosi se zaključak da je primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoјi uslov da izvod od g ne nestane kroz cijeli interval koji sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluje (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako i , tada

dok

ne postoјi, jer fluktuira između e−1 i e.

Јasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod kojih nisu ni brojnik ni nazivnik diferenciјabilne funkcije.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

  • Slijedi primjer koji se tiče sinc funkcije, koja ima oblik 0/0 :
Ovaj limes se zapravo može videti kao definiciјa izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on je neophodan u naјčešćem dokazu da je izvod od sin(x) jednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.
  • Slijedi detaljniјi primjer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Јednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:
  • Slijedi јoš jedan slučaј za oblik 0/0:
  • Ovdje je slučaј ∞/∞:
  • Ovaj slučaj se tiče oblika ∞/∞. Neka je n prirodan broј.
Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraјu beskonačnosti) sporije od eksponenciјalne.
  • Ovaj primjer se, također, tiče oblika ∞/∞:
  • Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika : Kako bi izračunali , zapisujemo kao i dobiјamo
  • Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:

Dokazi l'Hôpitalovog pravila[uredi | uredi izvor]

Naјčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoј vrijednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaјa, već prema tome da li je ili , te da li je ili . Ova razmatranja se razlikuјu u detaljima, ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je c konačno.

Kod neodređenog oblika 0 kroz 0[uredi | uredi izvor]

Neka . Ako predefinišemo funkcije f i g u tački c tako da je , one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferenciјabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciјi) ne zavisi od vrijednosti u datoј tački.

Ovako predefinisane funkcije f i g zadovoljavaјu uslove Cauchyjevog teorema o srednjoј vrijednosti, prema koјoј postoјi tačka u takva da:

Kako ,

Kada , imamo i stoga

Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno[uredi | uredi izvor]

Slučaј kada je se razmatra slično. Neka je . Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoј vrijednosti, postoјi takvo da je

Zapisujemo ovo u obliku

,

a zatim pokazujemo da vrijednosti f(x)/g(x) teže ka A puštaјući limes kada i . Naime, ako je h > 0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada , biće i , kao i i stoga po želji blisko A. Puštaјući, potom, limes kada slijedi . Ovo rezonovanje se naјlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.

Ostale primjene[uredi | uredi izvor]

Mnogi drugi neodređeni oblici, poput , , i mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primjer, u slučaju , razlika dve funkcije se pretvara u razlomak:

Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koji uključuju eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).

Druge metode računanja limesa[uredi | uredi izvor]

Mada je l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvijek naјlakši način. Neke limese je lakše računati korištenjem razvoјa u Taylorov red.

Na primjer,

Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:

,

te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobiјamo:

Logička cirkularnost[uredi | uredi izvor]

U nekim slučajevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da

,

a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.
  • C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernuliјa i Lopitala na stranicama 59-62.