Granična vrijednost niza

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
n n sin(1/n)
1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."

Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

  • Za niz realnih brojeva
Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao
ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |xnL| < ε.
Za element se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao
ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.
  • Kao generalizacija, za niz tačaka u topološkom prostoru T:
Za element se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao
ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je za sve

Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).

Nulti niz je niz koji konvergira u 0.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

  • Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
  • niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
  • Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.

Također:






Reference[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]