Leibnizovo integraciono pravilo

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika

tada se, za , derivacija ovog integrala može iskazati kao

uz uslov da su i neprekidne na oblastima oblika

Granice koje su varijable[uredi | uredi izvor]

Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:

gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj[uredi | uredi izvor]

Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.

Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:[1]

  

gdje je:

F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t
Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
d A je vektorski element površi Σ
d s je vektorski element krive ∂Σ
v je brzina kretanja oblasti Σ
• je vetor divergencije
× je vektorski proizvod
Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Osnovni oblik[uredi | uredi izvor]

Prvo, pretspostavimo da vrijedi

Tada je

Zamjenom u prethodno imamo

Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:

Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom

Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:

koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Heinz Knoepfel (2000). Magnetic fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use. New York: Wiley-IEEE. str. Eq. 1.4–11, p. 36. ISBN 0471322059. 

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]