U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika
tada se, za , derivacija ovog integrala može iskazati kao
uz uslov da su i neprekidne na oblastima oblika
Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:
-
gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.
Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj[uredi | uredi izvor]
Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:[1]
gdje je:
- F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t
- Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
- d A je vektorski element površi Σ
- d s je vektorski element krive ∂Σ
- v je brzina kretanja oblasti Σ
- ∇• je vetor divergencije
- × je vektorski proizvod
- Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.
Prvo, pretspostavimo da vrijedi
Tada je
Zamjenom u prethodno imamo
Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:
Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom
Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:
koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga