Vektorski proizvod

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, vektorski proizvod je binarna operacija na dva vektora u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru koja rezultira drugim vektorom koji je okomit na ravan koji sadrži dva početna vektora. Algebra definisana vektorskim proizvodom niti je asocijativna niti komutativna. U suprotnosti je sa skalarnim proizvodom koji daje skalarni rezultat. U mnogim inženjerskim i fizikalnim problemima, zgodno je biti u mogućnosti konstruisati okomit vektor sa dva postojeća vektora, što nam upravo omogućava vektorski proizvod. Vektorski proizvod poznat je i po nazivu Gibbsov vektorski proizvod.

Vektorski proizvod nije definisan osim u tri ili sedam dimenzija. Kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike Euklidovog prostora. Za razliku od skalarnog proizvoda, on također zavisi od odabira orijentacije. Određena obilježja vektorskog proizvoda mogu se uopćiti na ostale sitacije. Za proizvoljan odabir orijentacije, vektorski proizvod se ne treba smatrati kao vektor, nego kao pseudovektor. Za proizvoljne odabire metrike, te u proizvoljnim dimenzijama, vektorski proizvod može se uopćiti preko vanjskog proizvoda vektora.

Ilustracija vektorskog proizvoda preko koordibnatnom sistemu orijentisanom prema desnoj ruci.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Određivanje pravca vektorskog proizvoda pomoću pravila desne šake.

Vektorski proizvod dva vektora a i b ima oznaku a × b. U fizici, ponekad se označava kao ab[1] (matematičari ne koriste ovu oznaku, kako bi se izbjegla zabuna sa vanjskim proizvodom).

U trodimenzionalnom Euklidovom prostoru, sa koordinatim sistemom orijentisanim prema desnoj ruci, a × b je definisan kao vektor c koji je okomit na oba vektora a i b, sa pravdem određenim preko pravilom desne šake, a intenziteta jednakog površini paralelograma kojeg vektori a i b tvore.

Vektorski proizvod je definisan preko formule

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}

gdje je θ mjera manjeg ugla između a i b (0° ≤ θ ≤ 180°), a i b su intenziteti vektora a i b, a \mathbf{\hat{n}} je jedinični vektor okomit na ravan koja sadrži a i b. Ako su vektori a i b kolinearni (ako je ugao θ između njih ili 0° ili 180°), preko gornje formule, vektorski proizvod vektora a ib je nulti vektor 0.

Pravac vektora \mathbf{\hat{n}} je dat preko pravila desne šake, gdje kažiprst pokazuje pravac prvog vektora a', a srednji prost pokazuje pravac vektora b. Tada, vektor \mathbf{\hat{n}} izlazi iz palca (pogledajte sliku desno). Iz ovog pravila vidimo da je vektorski proizvod antikomutativan, tj., b × a = - (a × b). Ako prvo osmjerimo kažiprst u pravcu vektora b, a zatim usmjerimo srednji prst u pravcu vektora a, palac će biti okrenut u suprotnom pravcu, mijenjajući znak proizvoda vektora.

Izračunavanje vektorskog proizvoda[uredi | uredi izvor]

Koordinatne oznake[uredi | uredi izvor]

Jedinični vektori i, j i k iz datom ortogonalnog koordinatnog sistema zadovoljavaju slijedeće jednakosti:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

Zajedno sa antisimetričnosti i bilinearnosti vektorskog proizvoda, ova tri identiteta su dovoljna kako bi se odredio vektorski proizvod bilo koja dva vektora. Također, slijedeći identiteti, također, važe

j × i = −k           k × j = −i           i × k = −j
i × i = j × j = k × k = 0.

Sa ovim pravilima, koordinate vektorskog proizvoda dva vektora mogu se lahko izračunati, bez određivanja ikakvih uglova: Neka je

a = a1i + a2j + a3k = (a1, a2, a3)

i

b = b1i + b2j + b3k = (b1, b2, b3).

Vektorski proizvod može se izračunati preko distributivnog vektorskog množenja:

a × b = (a1i + a2j + a3k) × (b1i + b2j + b3k)
a × b = a1i × (b1i + b2j + b3k) + a2j × (b1i + b2j + b3k) + a3k × (b1i + b2j + b3k)
a × b = (a1i × b1i) + (a1i × b2j) + (a1i × b3k) + (a2j × b1i) + (a2j × b2j) + (a2j × b3k) + (a3k × b1i) + (a3k × b2j) + (a3k × b3k).

Pošto je skalarno množenje komutativno sa vektorskim množenjem, desna strana može se regrupisati kao

a × b = a1b1(i × i) + a1b2(i × j) + a1b3(i × k) + a2b1(j × i) + a2b2(j × j) + a2b3(j × k) + a3b1(k × i) + a3b2(k × j) + a3b3(k × k).

Ova jednačina je suma devet jednostavnih vektorskih proizvoda. Nakon što se sve izmnoži korišteći osnovne relacije vektorskog proizvoda između jediničnih vektora i, j i k, definisanih iznad,

a × b = a1b1(0) + a1b2(k) + a1b3(−j) + a2b1(−k) + a2b2(0) + a2b3(i) + a3b1(j) + a3b2(−i) + a3b3(0).

Ova jednačina može se faktorisana u oblik

a × b = (a2b3a3b2) i + (a3b1a1b3) j + (a1b2a2b1) k = (a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1).

Osobine[uredi | uredi izvor]

Geometrijsko značenje[uredi | uredi izvor]

Slika 1: Površina paralelograma kao vektorski proizvod.
Slika 2: Zapremina paralelopipeda dobija se mješovitim proizvodom (kombinacija vektorskog i skalarnog proizvoda) tri vektora; isprekidane linije pokazuju projekciju c na a × b, te projekciju a na b × c, prvi korak u računanju skalarnog proizvoda.

Intenzitet vektorskog proizvoda može se interpretirati kao pozitivna površina paralelograma sa a ib kao njegovim stranicama (pogledajte Sliku 1):

A = | \mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | \mathbf{a} | | \mathbf{b}| \sin \theta. \,\!

Također, moguće je izračunati zapreminu V paralelepipeda, koji ima vektore a, b i c kao svoje stranice, korištenjem kombinacije vektorskog i skalarnog proizvoda, koji se naziva mješoviti proizvod (pogledajte Sliku 2):

V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.

Slika 2 pokazuje da se ova zapremina može izračunati na dva načina, pokazujući geometrijski da ovaj identitet važi i kada se redoslijed operacija promijeni. To jest, vrijedi da je:

V =\mathbf{a \times b \cdot c} = \mathbf{a \cdot b \times c} \ .

Algebarske osobine[uredi | uredi izvor]

Vektorski proizvod je antikomutativan,

a × b = −b × a,

distributivan kod sabiranja,

a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

i kompatibilan sa skalarnim množenjem, tako da je

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b).

Nije asocijativan, ali zadovoljava Jacobijev identitet:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Vektorski proizvod ne podliježe osobini poništavanja:

Ako je a × b = a × c i a0, tada je:
(a × b) − (a × c) = 0 i, po zakonu distribucije iznad:
a × (bc) = 0
Sad, ako je a paralelan sa (bc), tada, ćak i ako je a0, moguće je da je (bc) ≠ 0, te dobijamo da je bc.

Međutim, ako su i a · b = a · c i a × b = a × c, tada se može zaključiti da je b = c. Uistinu,

a . (b - c) = 0, i
a × (b - c) = 0

tako da je b - c i paralelno i okomito na nenulti vektor a. Ovo je jedino moguće ako je b - c = 0.

Distributivnost, linearnost i Jacobijev identitet pokazuju da R3 zajedno sa sabiranjem vektora i vektorskim proizvodom formira Lieovu algebru.

Dva vektora a and b, različita od nule, su paralelna ako i samo ako je a × b = 0.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Jeffreys, H and Jeffreys, BS (1999). Methods of mathematical physics, Cambridge University Press.

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: