Linearna nezavisnost

U linearnoj algebri, porodica vektora je linearno nezavisna ako se ni jedan od njih ne može napisati kao linearna kombinacija konačno mnogo drugih vektora u skupu. Familija vektora, koji nisu linearno nezavisni, nazivaju se linearno zavisnim. Naprimjer, u trodimenzionalnom realnom vektorskom polju $\mathbb {R} ^{3}$, imamo sljedeći primjer:

${\begin{matrix}{\mbox{nezavisni}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{zavisni}}\\\end{matrix}}$

Ovdje su prva tri vektora linerano nezavisna; ali četvrti vektor jednak je 9 puta prvi plus 5 puta drugi plus 4 puta treći, tako da su ova četiri vektora zajedno lnearno zavisna. Linearna zavisnost je osobina prodice vektora, a ne nekog pojedinačnog vektora; ovdje bi, također, mogli napisati prvi vektor kao linearnu kombinaciju posljednja tri.

$\mathbf {v} _{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.$

U teoriji vjerovatnoće i statistici postoji nevezana mjera linearne zavisnosti između slučajnih promjenljivih.

Formalna definicija

Podskup S vektorskog prostora V naziva se linearno zavisnim ako postoji konačan broj različitih vektora v₁, v₂, ..., v_n u S i skalara a₁, a₂, ..., a_n, ne svi jednaki nuli, tako da je

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Uočite da nula na desnoj strani nulti vektor, a ne broj nula.

Ako takvi skalari ne postoje, tada se za vektore kaže da su linearno nezavisni. Ovaj uslov može se reformulisati kao: Kad god su a₁, a₂, ..., a_n skalari takvi da vrijedi

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,$

imamo da je a_i = 0 za i = 1, 2, ..., n, tj. postoji samo trivijalno rješenje.

Skup je linearno nezavisan ako i samo ako su predstavljanja nultog vektora kao linearne kombinacije njegovih elemenata trivijalna rješenja.

Općenitije, neka V bude vektorski prostor nad poljem K, i neka {v_i | i∈I} bude porodica elemenata od V. Porodica je linearno zavisna nad K ako postoji porodica {a_j | j∈J} elemenata id K, koji nisu svi nule, tako da je

$\sum _{j\in J}a_{j}\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} \,$

gdje je indeksni skup J neprazan, konačan podskup od I.

Skup X elemenata od V je linearno nezavisan ako je odgovarajuća porodica {x}_x∈X linearno nezavisna.

Ekvivalentno, porodica je zavisna ako je jedan član u linearnom rasponu od ostatka porodice, tj. , član je linearna kombinacija ostatka porodice.

Skup vektora koji je linearno nezavisan i koji raspinje neki vektorski prostor, formira bazu za vektorski prostor. Naprimjer, vektorski prostor svih polinoma u x nad realnim brojevima ima (beskonačnu) bazu {1, x, x², ...}.

Geometrijsko značenje

Geografski primjer može biti od pomoći pri shvatanju koncepta linearne nezavisnosti. Osoba, koja opisuje lokaciju određenog mjesta, može reći: "Mjesto se nalazi 5 kilometara sjeverno i 6 kilometara istočno odavde." Ova informacija je dovoljna kako bi se opisala ta lokacija, zato što se geografski koordinatni sistem može smatrati kao dvodimenzionalni vektorski prostor (zanemarujući nadmorsku visinu). Osoba bi mogla dodati: "Mjesto se nalazi 7,81 kilometara sjeveroistočno odavde." Ako je posljednji iskaz tačan, nije neophodan.

U ovom primjeru, vektor "5 kilometara sjeverno" i vektor "6 kilometara istočno" su linearno nezavisni. Drugačije rečeno, vektor "sjever" ne može se opisati preko vektora "istok", i obrnuto. Treći, vektor "7,81 kilometara sjeveroistočno" je linearna kombinacija druga dva vektora, te on čini skup vektora linearno zavisnim, to jest, jedan od tri vektora je nepotreban.

Također, uočite da ako se nadmorska visina ne zanemari, neophodno je dodati treći vektor u linearno nezavisan skup. Općenito, n linearno nezavisnih vektora potrebno je da se opiše neka lokacija u n-dimenzionalnom prostoru.

Primjer I

Vektori (1, 1) i (−3, 2) u R² su linearno nezavisni.

Dokaz

Neka λ₁ i λ₂ budu dva realna broja, takva da je

$(1,1)\lambda _{1}+(-3,2)\lambda _{2}=(0,0).\,\!$

Uzimajući svaku koordinatu samostalno, dobijamo

${\begin{aligned}\lambda _{1}-3\lambda _{2}&{}=0,\\\lambda _{1}+2\lambda _{2}&{}=0.\end{aligned}}$

Rješavanjem po λ₁ i λ₂, dobijamo da je λ₁ = 0 i λ₂ = 0.

Alternativni metod korištenjem determinanti

Alternativni metod koristi činjenicu da su n vektora u $\mathbb {R} ^{n}$ linearno zavisni ako i samo ako je determinanta matrice, formirane od vektora kao kolone te marice, jednaka nuli.

U ovom slučaju, matica formirana od vektora glasi

$A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.\,\!$

Možemo napisati linearnu kombinaciju kolona kao

$A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.\,\!$

Nas interesuje da li je AΛ = 0 za neki vektor Λ, različit od nule. Ovo zavisi od determinante od A, koja glasi

$\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.\,\!$

Pošto je determinanta različita od nule, vektori (1, 1) i (−3, 2) su linearno nezavisni.

Kada je broj vektora jednak dimenziji vektora, matrica je kvadratna, te je, zbog toga, determinanta definisana.

U suprotnom, pretpostavimo da imamo m vektora sa n koordinata, gdje je m < n. Tada je A matrica dimenzije n×m, a Λ je kolona vektor sa m vrijednosti, gdje nas ponovo zanima slučaj AΛ = 0. Kao što smo prethodno vidjeli, ovo je jednako sistemu od n jednačina. Razmotrimo prvih m redova u A, prvih m jednačina; svako rješenje za puni sistem mora, također, biti tačno i za redukovani sistem. U stvari, ako je 〈i₁,...,i_m〉 bilo koji sistem od m redova, tada jednačina mora biti tačna za te redove.

$A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .\,\!$

Dalje, i obrnuto je tačno. To jest, možemo provjeriti da li je m vektora linearno zavisno testirajući da li je

$\det A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }=0\,\!$

za sve moguće sisteme od m redova. (U slučaju da je m = n, zahtijeva se samo jedna determinanta, kao i u prethodnom primjeru. Ako je m > n, tada dobijamo teorem koji kaže da ti vektori moraju biti linearno zavisni.) Ova činjenica bitna je za teoriju; u praktičnim proračunima, dostupni su efikasniji metodi.

Primjer II

Neka je V = Rⁿ, te razmotrimo sljedeće elemente u V:

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$

Tada su e₁, e₂, ..., e_n linearno nezavisni.

Dokaz

Pretpostavimo da su a₁, a₂, ..., a_n elementi iz R, takvi da je

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!$

Pošto je

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!$

tada je a_i = 0 za sve i u intervalu {1, ..., n}.

Primjer III

Neka V bude vektorski prostor svih funkcija realne varijable t. Tada su funkcije e^t i e^2t u V linearno nezavisne.

Dokaz

Pretpostavimo da su a i b dva realna broja, takva da je

ae^t + be^2t = 0

za sve vrijednosti od t. Mi trebamo pokazati da je a = 0 i b = 0. Kako bi to učinili, sve podijelimo s e^t (što nikada nije jednako nuli), te oduzmemo, pri čemu dobijamo

be^t = −a.

Drugim riječima, funkcija be^t mora biti zavisna od t, što se dešava samo kada je b = 0. Slijedi da je a, također, jednako nuli.

Primjer IV

Sljedeći vektori u R⁴ su linearno zavisni.

${\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}\mathrm {i} {\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}$

Dokaz

Moramo pronaći skalare $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ i $\lambda _{3}$, takve da je

${\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}$

Formiramo simultane jednačine:

${\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}$

koje možemo riješiti (koristeći, naprimjer, Gaussovu eliminaciju), pri čemu dobijamo:

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=-3\lambda _{3}/2\\\lambda _{2}&=\lambda _{3}/2\\\end{aligned}}$

gdje se $\lambda _{3}$ može izabrati proizvoljno.

Pošto su ovo netrivijalna rješenja, vektori su linearno zavisni.

Također pogledajte

• Ortogonalnost
• Matroid – generalizacija koncepta
• Wronskijan
• Gramova determinanta

Vanjski linkovi

• Online Zabilješke o linearnoj nezavisnosti
• Linearly Zavisne funkcije na WolframMathWorld