Euklidski vektor

Vektor AB

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Definicija

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka $A$ i $B$ iz $R^{n}$. Tada je:

${\overrightarrow {AB}}=\left(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2},\dots ,B_{n}-A_{n}\right),a{\overrightarrow {BA}}=\left(A_{1}-B_{1},A_{2}-B_{2},\dots ,A_{n}-B_{n}\right)$

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

${\overrightarrow {AB}}=A+||AB||\cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}}$

Ako $||AB||$ zamjenimo sa $\lambda$ koje može biti bilo koji broj iz $\mathbb {R}$ definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku $A$ a za vektor pravca ima vektor $AB$. Ako je $\lambda$ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački $A$.

Ako je $||AB||\neq \lambda$ rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor $AB'$ ovo znači da važi:

${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AB'}}={\overrightarrow {0}}$

Označavanje

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju ${\vec {a}}$. Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr ${\underset {^{\sim }}{a}}$. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ${\overrightarrow {AB}}$ ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer

vektor od koordinantnog početka $O=(0,0)$ do tačke $A=(2,3)$ je $a(2,3)$

U trodimenzionalnom prostoru $R^{3}$ vektor se označava sa

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ili $\mathbf {a} =(a_{\text{x}},a_{\text{y}},a_{\text{z}})$.

U n-dimensionalnom $R^{n}$ prostoru

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})$ Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]$. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)$.

odnosno

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\$

ili

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$.

Dekartove koordinate

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke $A=(1,0,0)$ i $B=(0,1,0)$ u prostoru određuju vektor $\ overrightarrow{AB}(1,1,0)$

Nula-vektor

Nula-vektor $a_{0}$ je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

${\overrightarrow {a_{0}}}={\overrightarrow {0}},\;|{\overrightarrow {a_{0}}}|=0$

${\overrightarrow {AA}}={\overrightarrow {BB}}={\overrightarrow {0}}$

Jedinični vektor

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor $a$ može se odrediti odgovarajući jedinični vektor $v$ istog pravca i smjera.

${\overrightarrow {v}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\;{\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}$

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor $(1,0,0)$ je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku $O(0,0,0)$.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}|a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Jednakost vektora

Dva vektora

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

i

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

su jednaka ako važi

$a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}$

Kolinearni i komplanarni vektori

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni , a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.,

Projekcija vektora

Projekcija vektora

• Ortogonalna projekcija u ravni na pravu $p$ je funkcija koja svakoj tački

$A$ ravni pridružuje tačku u kojoj normala na $p$, koja prolazi tačkom $A$, siječe prava $p$.

• Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu $p$ je funkcija koja svakoj tački

$A$ prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom $A$,a okomita je na $p$, siječe pravu $p$.[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

i

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

su suprotna ako važi

$a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}$

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

$a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$, $a_{i}\in K$, $i=1,...,n$

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva $K^{n}$, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer $a_{1}$ je prva koordinata vektora, $a_{2}$ je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}$
$|a|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora ${\overrightarrow {a}}\in K^{n}$ nekim skalarom $\alpha \in K$ je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

$\alpha \cdot {\overrightarrow {a}}$ = $\alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ = $(\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).$

Sabiranje vektora

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora $a,b\in K^{n}\,$:

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})$
${\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})$

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

$+:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,$
${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}$,
$c_{i}=a_{i}+b_{i}\,$, gde je $i=1,...,n\,$

Pri čemu će vektor c biti iz prostora $K^{n}\,$. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})$

Pri čemu $-{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})$.

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz $K^{n}$ u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz $K^{n}$ bi proizvod k izgledao ovako:

$\cdot :(K^{n},K^{n})\rightarrow K$
$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}$, $k\in K$
$k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}$, gde je $i=1,...,n$

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|a|\cdot |b|\cdot \cos \omega$,

pri čemu je $\omega$ ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore ($E^{3}\,$) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}$
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=$ ${\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$ ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Jer su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$, ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i ${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze $E^{3}\,$.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|a||b|\sin \omega$, gde je $\omega$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})$, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
$(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})$, gde je $\alpha \in E$. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz $E^{3}$ preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa $[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]$. A po definiciji je:

$[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=$ ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},$ ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}$

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

• $[x,y,z]=-[y,x,z]$
• $[x,y,z]=[z,x,y]=[y,z,x]$
• $[\alpha x,y,z]=\alpha [x,y,z]$
• $[x+t,y,z]=[x,y,z]+[t,y,z]$

Također pogledajte

• Kompleksan broj
• Koordinatni sistem
• Površinska normala
• Vektorska analiza

Vanjski linkovi

• Vector
• Introducing vectors
• Vektorrechnung fürs Abitur
• Vektoren 1
• POJAM VEKTORA