Duž

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Duž (osječak) prave je skup koji sačinjavaju tačke A,B prave a i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž. Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i označavamo sa AB ili BA Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

Orjentisana duž[uredi | uredi izvor]

Orjentisana duž je duž čiji su krajevi tačke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži. Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kažemo da vektori i imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektori i imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor

Sadržavanje duži[uredi | uredi izvor]

Teoreme

  1. Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda

duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

  • duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
  • ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB

2. Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB Posljedica

  1. duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
  2. ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka

Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.

Aksioma prenošenja duži

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

Sredina duži[uredi | uredi izvor]

Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži Teorema Duž može da ima samo jednu sredinu. Dokaz Neka duž AB ima dvije sredineM i N. AM=MB AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B. Posmatrajmo A<M<N<B odnosno imamo niz relacija AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguće jer je AM=BM Ako je m sredina duži onda je AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duži[uredi | uredi izvor]

Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo zbirom duži a i b.

Aksiom zbira duži

Ako su tačke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tačke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajući sabirci dvaju zbirova duži jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a1 & b=b1) => a+b=a1 + b1 Na osnovu ove teoreme proizlazi a=b=>a+c=b+c Komutativnost zbira duži a+b=b+a Asocijativnost (a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na. Za proizvod na važ: m(na)=(mn)a (m+n)a=ma + na m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

Razlika duži[uredi | uredi izvor]

Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo razlika duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.

Upoređivanje duži[uredi | uredi izvor]

Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b . Za A<B<C kažemo da je duž a manja od duži b( a<b) ili duž b je veća od duži a (b>a)

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B1, C1 na drugoj sa početkom u A1 takve da je AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A<B<C onda je i A1,B1<C1

Teorema

Ako je a=a1; b=b1 i a<a1 onda je i a<b1 Teorema Za proizvoljne duži a,b isključivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

  • A=B onda je a=b
  • O<A<B onda je a<b
  • O<B<A onda je b<a

Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duži a,b,c važi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duži a,b,c važi ako je a<b onda je a+c<b+c

odnosno ako nejednakosti duži dodamo s jedne i s druge strane istu duž dobićemo tačnu nejednakost.

Duž u kompleksnoj ravni[uredi | uredi izvor]

Udaljenost između tačaka[uredi | uredi izvor]

Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni određene kompleksnim brojevima a i b respektivno. Tada je rastojanje AB između ovih tačaka dato formulom

Ovako određeno rastojanje između dviju tačaka ima sve osobine funkcije udaljenosti..

Za tačku M(z) kompleksne ravni kažemo da je između tačaka A i B ako je i

pri čemu koristimo oznaku .

Skup nazivamo otvoreni segment ili interval određen tačkama A i B. Skup je zatvoreni interval ili segment određen tačkama A i B.

Teorema

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke kompleksne ravni. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. M(z) \in(AB)
  2. postoji pozitivan realan broj k tako da je
  3. postoji realan broj tako da je .

Dijeljenje duži u zadanom odnosu[uredi | uredi izvor]

Neka su i dvije različite tačke. Tačka na pravoj AB deli duž AB u odnosu ako važi sledeća vektorska jednakost:

\overrightarrow{MA}= k \overrightarrow{MB}.

U terminima kompleksnih brojeva ovu jednakost možemo napisati u sledećem obliku ili .

Pa je


kompleksan broj koji određuje tačku M. Za tačka M pripada segmentu koji spaja tačke A i B.

Ako je , onda je

ko je , onda je

Za ta·cka M je sredina džzi AB, a određena je kompleksnim brojem .

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Primene kompleksnih brojevau geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Duž koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.