Matrica (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije[uredi | uredi izvor]

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše A:=(a_{i,j})_{m \times n} kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ im i 1 ≤ jn. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ im − 1 i 0 ≤ jn − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik [1]

\begin{bmatrix}
  a_{11}     & a_{12}& \cdots & a_{1n}      \\
  \vdots & \vdots & \vdots \\ 
  a_{m1} & a_{m2}  & \cdots & a_{m n}
\end{bmatrix}

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa m \times n.

Za matricu koja je m \times n tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj m= n, kažemo da je kvadratna matrica reda n.

Elementi kvadratne matrice n \times n (reda n) a_{11},\ a_{22},...,a_{nn} čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica m\times n se označava sa \begin{vmatrix}
  a_{ij}
\end{vmatrix}_{n,n}

Primjer

Matrica

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

 R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je a_{ij}= 0 za i > j i donja trouglasta ako je a_{ij}= 0 za i <j

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica. a_{ij}= 0 za i\ne j


Vrsta matrice matrica reda n = 3
Dijagonalna matrica 
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
donja trouglasta matrica 
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
gornja trouglasta matrica 
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica. a_{11}=a_{22}=...=a_{nn}

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj a_{11}=a_{22}=...a_{nn}=1

Primjer


\begin{bmatrix}
         1 & 0 & 0 \\
           0 & 1 & 0 \\
           0 & 0 & 1
      \end{bmatrix} je jedinična matrica tipa 3 \times  3

Matrica B je podmatrica ili submatrica matrice A, ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice A možemo dobiti matricu B.

Neka je A matrica tipa m\times n komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa A_{i,j}.

Sabiranje i množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Sabiranje[uredi | uredi izvor]

Ako su dane matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
Primjer

Neka je

A=\begin{bmatrix}
    2 & 3 & 1 \\
   -2 & 1 & 2
  \end{bmatrix} \&  \ B=\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 0 \\
1 & -3 & 4
  \end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix}
    3 & 5 & 1 \\
-1 & -2 & 6
  \end{bmatrix}=B+A

Osobine
  1. A+B=B+A komutativnost
  2. (A+B)+C=A+(B+C) asocijativnost
  3. A+0=0+A=A
  4. (A+B)^T=A^T+B^T[2]

Množenje skalarom[uredi | uredi izvor]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\
    2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Osobine
  1. m(nA)=(mn)A
  2. (m+n)A=mA+nA
  3. IA=AI=A
  4. A0=0A=0[3]

Množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:

\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]

za svaki par i i j.

Na primjer:


    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\cdot
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1)
      & ( 1 \cdot 1  +  0 \cdot 1  +  2 \cdot 0) \\

        ((-1) \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1)
      & ((-1) \cdot 1  +  3 \cdot 1  +  1 \cdot 0) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

  • (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
  • (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
  • C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
  • m(AB)= (mA)B
  • A(mB)=m(AB)
  • (AB)^T=B^TA^T

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je ABBA.[4]

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Stepenovanje matrica[uredi | uredi izvor]

AA=A^2

AAA=A^3

\underbrace{ AA\cdots A }_{n}=A^n

Po definiciji je


A^0=I

Transponovana matrica[uredi | uredi izvor]

Transponovana matrica matrice

A=\begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12}    & \cdots & a_{1n}      \\
  a_{21} & a_{22}    & \cdots & a_{2n} \\
     & \cdots &  \\
 a_{m1} & a_{m2}     & \cdots & a{mn}
\end{bmatrix}_{mn}

je matrica A^T oblika A^T=\begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{21}    & \cdots & a_{m1}      \\
  a_{12} & a_{22}    & \cdots & a_{m2} \\
     & \cdots &  \\
 a_{1n} & a_{2n}     & \cdots & a{mn}\end{bmatrix}_{nm} tj

A \to A^T <=> a_{ij} \to a_{ji}

Primjer

Ako je

\begin{bmatrix}
1     & -1 & 3 & 2      \\
 
0     & 2 & 1& 3
\end{bmatrix} onda je

 A^T=

\begin{bmatrix}
1     & 0     \\
 
-1     & 2 \\
3     & 1 \\
2    & 3 \\
\end{bmatrix}

Kvadratna matrica A je: simetrična tj a^T = A, tj. a_{ji} = a_{ij} za sve i,\ j antisimetrična

 A^T = -A tj a_{ji} = - a_{ij} za sve i,\ j. Tada je i a_{ii}=-a_{ii}=0 za sve i

Osobine transponiranja[uredi | uredi izvor]

  1. (A+B)^T = A^T+ B^T
  2. (\lambda A)^T=\lambda A^T
  3. (A^T)^T =A
  4. (AB)^T =B^T A^T [5]

Inverzna matrica[uredi | uredi izvor]

Ako za matricu A postoji matrica A^{-1} takva da je  A^{-1}A= AA^{-1} =I onda je A^{-1} inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je A ranga nonda je i A^{-1} ramga n Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su B i C inverzne matrice od A onda je

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

Osobine[uredi | uredi izvor]

  1. (A^{-1})^{-1}=A
  2. (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}
  3. (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
  4. (AB)^{-1}=B^{-1} A^ {-1}

Jednakost matrica[uredi | uredi izvor]

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

A=B <=> \begin{Bmatrix}
 a_{ij}=b_{ij}  \ za \ i=1,2,3,...m\\
j=1,2,3,...n
\end{Bmatrix}

Linearne transformacije, rang, transponirana matrica[uredi | uredi izvor]

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : RnRm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : RmRk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje RmRn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. 6. LINEARNA ALGEBRA( 6.1 Matrice)
  2. Matrice
  3. Matrice
  4. Matrix
  5. Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages / June 2010.
  6. Matrix and vector online calculator
  7. Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)