Matrica (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije[uredi | uredi izvor]

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ im i 1 ≤ jn. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ im − 1 i 0 ≤ jn − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik [1]

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa .

Za matricu koja je tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj , kažemo da je kvadratna matrica reda .

Elementi kvadratne matrice (reda n) čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica se označava sa

Primjer

Matrica

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je za i donja trouglasta ako je za

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica. za


Vrsta matrice matrica reda
Dijagonalna matrica
donja trouglasta matrica
gornja trouglasta matrica

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica.

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj

Primjer

je jedinična matrica tipa

Matrica je podmatrica ili submatrica matrice , ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice možemo dobiti matricu .

Neka je matrica tipa komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa .

Sabiranje i množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Sabiranje[uredi | uredi izvor]

Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:

Primjer

Neka je

Osobine
  1. komutativnost
  2. asocijativnost
  3. [2]

Množenje skalarom[uredi | uredi izvor]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Osobine
  1. [3]

Množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:

za svaki par i i j.

Na primjer:

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

  • (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
  • (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
  • C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
  • (

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je ABBA.[4]

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Stepenovanje matrica[uredi | uredi izvor]

Po definiciji je

Transponovana matrica[uredi | uredi izvor]

Transponovana matrica matrice

je matrica oblika tj

Primjer

Ako je

onda je

Kvadratna matrica je: simetrična tj , tj. za sve antisimetrična

tj za sve . Tada je i za sve

Osobine transponiranja[uredi | uredi izvor]

  1. (
  2. [5]

Inverzna matrica[uredi | uredi izvor]

Ako za matricu postoji matrica takva da je onda je inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je ranga nonda je i ramga n Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su i inverzne matrice od onda je

Osobine[uredi | uredi izvor]

Jednakost matrica[uredi | uredi izvor]

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

Linearne transformacije, rang, transponirana matrica[uredi | uredi izvor]

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : RnRm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : RmRk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje RmRn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. 6. LINEARNA ALGEBRA( 6.1 Matrice)
  2. Matrice
  3. Matrice
  4. Matrix
  5. Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages / June 2010.
  6. Matrix and vector online calculator
  7. Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)