| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.
Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.
Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.
Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]
Vektor se može definisati uređenim parom tačaka
i
iz
. Tada je:
Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
Ako
zamjenimo sa
koje može biti bilo koji broj iz
definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku
a za vektor pravca ima vektor
. Ako je
samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački
.
Ako je
rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor
ovo znači da važi:
Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju
. Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr
. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao
ili AB.
Vektori se predstavljaju i grafički.
- Primjer
vektor od koordinantnog početka
do tačke
je
U trodimenzionalnom prostoru
vektor se označava sa
ili
.
U n-dimensionalnom
prostoru
Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone
.
Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora
.
odnosno
ili
.
U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.
- Primjer
Tačke
i
u prostoru određuju vektor
Nula-vektor
je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.[2]
Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor
može se odrediti odgovarajući jedinični vektor
istog pravca i smjera.
Ovaj postupak se zove normiranje vektora.
U Dekartovim koordinatama vektor
je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku
.
Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.
Dva vektora
i
su jednaka ako važi
Kolinearni i komplanarni vektori[uredi | uredi izvor]
Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni [3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.[4],
Projekcija vektora
- Ortogonalna projekcija u ravni na pravu
je funkcija koja svakoj tački
ravni pridružuje tačku u kojoj normala na
, koja prolazi
tačkom
, siječe prava
.
- Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu
je funkcija koja svakoj tački
prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom
,a okomita je na
, siječe pravu
.[1]
Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori[uredi | uredi izvor]
Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora
i
su suprotna ako važi
Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov
Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:
,
,
Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva
, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer
je prva koordinata vektora,
je druga koordinata vektora itd.
Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.
Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.[5]

Množenje vektora
nekim skalarom
je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.
=
=
Uzmimo dva vektora
:

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

,
, gde je
Pri čemu će vektor c biti iz prostora
. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:
Pri čemu
.
Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz
u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz
bi proizvod k izgledao ovako:

, 
, gde je
Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak
,
pri čemu je
ugao između a i b.
Ovo zapravo znači i:
To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.
Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (
) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

Jer su
,
i
vektori kanonske baze
.
Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:
, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je
ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je
. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.
Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz
preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa
. A po definiciji je:
Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:
![{\displaystyle [x,y,z]=-[y,x,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896fbb0f23e4c6b9c0b1986df2ee42d737eea67b)
![{\displaystyle [x,y,z]=[z,x,y]=[y,z,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81388e8d41317556dcfca17943da39fa476e7065)
![{\displaystyle [\alpha x,y,z]=\alpha [x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd715cbc57de6d39ba07a84cfb6726a6fcc726)
![{\displaystyle [x+t,y,z]=[x,y,z]+[t,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9245e888599afa2aa6083e986e54f3d4809ef8)