Linearnost integracije

U kalkulusu, linearnost je fundamentalna osobina integrala koja slijedi iz pravila sumiranje u integraciji i pravila konstantnog faktora u integraciji. Linearnost integracije ima veze sa linerarnošću sumiranja, pošto su integrali, ustvari, beskonačne sume.

Neka f i g budu funkcije. Sada razmotrimo slijedeće:

$\int (af(x)+bg(x))\,dx.$

Po pravilu sumiranja u integraciji, ovo je

$\int af(x)\,dx+\int bg(x)\,dx.$

po pravilu konstantnog faktora u integraciji, ovo se svodi na

$a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.$

Slijedi da imamo

$\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.$

Oznaka operatora

Diferencijalni operator je linearan — ako koristimo Heavisideovu D oznaku, možemo proširiti D⁻¹ tako da on predstavlja prvi integral. Kako bi rekli da je D⁻¹ odavde linearan zahtijeva diskusiju o proizvoljnoj konstanti integracije; D⁻¹ bi jasno bio linearan ako bi se prozvoljna konstanta naštimala da bude nula.