Kvadrat (algebra)

Kvadrat je drugi stepen nekog broja ili izraza. Dobija se tako što pomnožimo broj samim sobom.

$a^{2}=a\cdot a$

Kvadrat izraza

• kvadrat binoma, kvadrat zbir ili kvadrat razlike

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}\,$

• zbir i razlika kvadrata

$a^{2}\pm b^{2}\,$

Potpuni kvadrat predstavlja niz brojeva ,koji predstavljaju kvadrate nekih prirodnih brojeva

$1,4,9,16,25,\cdots$

Pitagorejske trojke su brojevi koji zadovoljavaju uslov. $\Gamma ^{2}=\Lambda ^{2}+\Delta ^{2}\,$ Ima ih beskonačno mnogo. $(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),\cdots$

Određivanje kvadratnog broja

Kvadratni broj je jedan od prirodnih brojeva 1, 4, 16, 25...

Lako se može ustanoviti relacija između uzastopnih članova niza. Ako kvadratu nekog broja dodamo dvostruki taj broj uvećan za 1 dobijamo sljedeći član niza.

$x^{2}+(2x+1)=(x+1)^{2}$

Primjer

$6^{2}+(2*6+1)=36+13=49=7^{2}$

Kvadrat broja čija je cifra jedinica 5 određujemo tako sto broj ispred 5 pomnožimo sa njemu sljedećim brojem i tom proizvodu dopišemo 25.

$45^{2}=(4*5=20)25=2025$

$65^{2}=(6*7=42)25=4225$

Ako su poznate algebarske relacije

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

uvrstimo $b=1$

$(a+1)^{2}=a^{2}+2a+1$

$:(a-1)^{2}=a^{2}-2a+1$

Može se koristiti kao kvadrat broja ako se zna $a^{2}$

$30^{2}=900$

$31^{2}=(30+1)^{2}=30^{2}+2*30+1=900+6+1=961$

Malo teže je za

$(a+2)^{2}=a^{2}+4a+4$

$(a-2)^{2}=a^{2}-4a+4$

$38^{2}=40^{2}-4*40+4=1600-164=1444$

$37^{2}=35^{2}+4*35+9=1225+140+4=1369$

Lako se pamte kvadrati čija je cifra jedinica 0.

Kako je

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

imamo

$a^{2}=(a+b)(a-b)-b^{2}$

$57^{2}=(57+3)(57-3)+99=54*60+9=3249$

$113^{2}=(113+13)(113-13)+13^{2}=126*100+169=12769$

Brojeve izmedju 40 i 60 upoređujemo sa brojem 50

$(50+x)^{2}=50^{2}+2*50x+x^{2}=(25+x)*100+x^{2}$

$(50-x)^{2}=50^{2}-2*50x+x^{2}=(25-x)*100+x^{2}$

$63^{2}=(50+13=60)=(25+13)*100+13^{2}=3800+169=3969$

Ovo pravilo se moze primjeniti za brojeve izmedju 2 i 29. Kako znamo da je kvadrat nekog broja jednak četvrtini kvadrata dvostrukog tog broja imamo

$27^{2}={\frac {54^{2}}{4}}={\frac {2916}{4}}=729$

Slično je sa brojevima 82 do 98 koji se dijele sa 2 pa je njihov kvadrat 4 puta veci.

$82^{2}=4*41^{2}=4*1681=6724$

Za brojeve od 90 do 110 primjenjujemo pravilo

$(100+x)^{2}=100^{2}+2*100x+x^{2}=(100+2x)*100+x^{2}$

$(100-x)^{2}=100^{2}-2*100x+x^{2}=(100-2x)*100+x^{2}$

$105^{2}=(100+2*5)*100+5^{2}=11000+25=11025$

$98^{2}=(100-4)*100+2^{2}=96*100+4=9600+4=9604$

Kvadrati cijelih brojeva uvijek završavaju sa ciframa 0,1,4,5,6,9 a nikada sa 2,3,7. Ovo je dovoljan ali ne i potreban uslov da bi broj bio kvadratni, jer broj može završavati nekom cifrom prvog niza a da nije kvadrat, a cio broj ako se ne završava nekom od tih cifri ne može biti kvadrat.

Interesantno je da dvocifrenih završetaka kvadrata ima 22. To su: 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 1,64, 69, 76, 81, 84, 89, 96. Ovo je značajno kod istraživanja odnosa brojeva.

Primjer

Ako nas interesuje da li kvadrat oduzet ili dodat od nekog broja daje kvadrat?

Ako želimo naći broj $x^{2}$ takav da je $5581-x^{2}$ također kvadrat.

Iz navedenih brojeva vidimo da se $x^{2}$ mora zavrsavati sa 00, 25, 56, ili 81.

$x^{2}=4356=66^{2}$

$5581-4356=1225=35^{2}$

Kvadrat se može završavati sa parnim brojem nula. ali ne i sa više od 3 četvorke

$38^{2}=1444$ je najmanji takav broj, a sljedeći takav broj je $462^{2}=213444$ zatim 538 pa 962.

$538^{2}=289444$

$962^{2}=925444$

Uopšte broj $500x+38$ ili $500x-38$ ima kvadrat koji se završava sa ciframa 444.

Kod automorfnih brojeva postoji klasa brojeva kod cijih su kvadrata n posljednjih cifara isti kao kod samog broja.

Za n=1 svaki broj koji završava sa 5 ili 6 kvadrat također završava sa 5 ili 6.

Za n=3 ako se brojevi zavrsavaju sa 376 ili 625 kvadrat također završava sa 376 ili 625.

Postoje također brojevi koji završavaju sa 000 ili 0001. Njihovi kvadrati se završavaju tim ciframa.

Postoje relacije koje sadrže kvadrate.

Broj 2025 je kvadrat kao i broj koji nastaje ako uvećamo njegove cifre za 1 tj broj 3136

$2025=45^{2}$

$3136=56^{2}$

Istu osobinu ima i broj 25

$25=5^{2}$

$36=6^{2}$

Premještajuci cifre brojeva 65 imamo

$65^{2}-56^{2}=4225-3136=1089=33^{2}$

Ovo je jedini dvocifreni broj koji zadovoljava rekaciju ovog tipa.

Postoji 83 broja čiji kvadrati sadrže svih 9 cifari sem nule bez ponavljanja.

Primjer

$11826^{2}=139854276$

a 87 koji sadrze i nulu. Tj.

$32043^{2}=1026753849$

Postoji nekoliko relacija koje pokazuju da razlika dva kvadrata može biti jednaka broju koji sadrži svih devet cifara uzetih samo jednom.

$11113^{2}-200^{2}=123458769$

Svaki neparni broj veći od 1 i svi parni djeljivi sa brojem 4 sem broja 4 mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Brojevi koji sadrže svih 9 cifri u rastučem ili opadajučem nizu mogu se izraziti kao razlika 2 kvadrata.

9 cifara možemo permutovati na 362880 načina, od kojih je 90720 brojeva oblika $4x+2$. To su brojevi koji se završavaju sa 02, 06, 14...98. Ne mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Sa brojevima 1 i 4 ima 90722 broja koji se ne mogu izraziti kao razlika kvadrata. Preostalih 272158 brojeva mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Proizvod zbira dva kvadrata sa drugin zbirom dva kvadrata uvijek je jednak zbiru dva kvadrata.

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$

$5^{2}=1^{2}+2^{2}$

$13=2^{2}+3^{2}$

$5*13=65=8^{2}+1^{2}=7^{2}+4^{2}$

Svaki prirodni broj može se izraziti kao zbir ne vise od 4 kvdrata.

Dokaz ove teoreme dao je Lagrange. Teorema se po njemu zove Lagrangeova teorema.

Moguce je imati 3 cjelobrojna kvadrata, takva da su njihovi zbirovi po parovima kvadrati.

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$

$x^{2}+z^{2}=b^{2}$

$y^{2}+z^{2}=c^{2}$

Primjer

$44^{2}+240^{2}=244^{2}$

$44^{2}+117^{2}=125^{2}$

$240^{2}+117^{2}=267^{2}$

Ovo znači da kvadar 44*117*240 ima strane cije su dijagonale cijeli brojevi

Da bi zbir 2 cjelobrojna kvadrata bio kvadrat cijelog broja $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ potrebno je da $x$, $y$, $z$ imaju oblik.

$x=k(m^{2}-n^{2})$

$y=2kmn$

$z=k(m^{2}+n^{2})$

To su Pitagorine trojke brojeva za m, n, k za proizvoljne prirodne brojeve.

Zbir kvadrata uzastopnih brojeva moze biti kvadrat broja.

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+24^{=}4900=70^{2}$

$18^{2}+19^{2}+20^{2}+....+28^{=}5929=77^{2}$

$12345678987654321=111111111^{2}$

Također pogledajte

• Kvadratna jednačina