Trougao

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Trokut
Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla.

Vrste trouglova[uredi | uredi izvor]

Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:

Pravougli trougao[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Pravougli trougao
Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Obim je
Površina je

Prečnik opisamog kruga  :

Tupougli trougao[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Tupougli trougao

Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).

Oštrougli trougao[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).

Osim uglova, trougli se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Jednakostranični trougao[uredi | uredi izvor]

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

Obim
Površina
Visina
Poluprečnik opisanog kruga
Poluprečnik upisanog kruga

Jednakokraki trougao[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica

Obim
Površina je
Visina

Raznostranični trougao[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Raznostranični trougao

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.

Poluprečnik opisamog kruga

Obim trougla[uredi | uredi izvor]

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

Obim jednakokrakog trougla je

Obim istostraničnog trougla je

Površina[uredi | uredi izvor]

  • Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
P = (b·h)/2,
Grafički prikaz površine trougla



Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;

Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je

Osobine trouglova (teoreme)[uredi | uredi izvor]

  • Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
.
Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
.
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.
  • Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
  • U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

Značajne tačke trougla[uredi | uredi izvor]

Centar opisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.
Centar upisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla

Sličnost trougla[uredi | uredi izvor]

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
;  :
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
; <
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
Ako je dužina hipotenuze onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo

Trougao u kompleksnoj ravni[uredi | uredi izvor]

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi i su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je

Dokaz

pnda i samo onda sko je

i

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa


Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

Lako je provjeiti da za trouglove , , i ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi sledeći stav.

Ako su tjemena trougla određena su kompleksnim brojevima respektivno, tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. je jednakostraničan trougao
  2. gdje je
  3. (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za

Ako su tjemena pozitivno orjentisanog trougla sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

  1. je jednakostraničan trougao
  2. za
  3. za
  4. [1]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.