Poligon

Sedmougao

Poligon (grčki: polys = mnogo + gonos = ugao) ili mnogougao je pojam iz geometrije, tačnije iz planimetrije. Poligon je figura koja nastaje spajanjem najmanje tri tačke na jednoj površini. Trougao, četverougao i šestougao su poznati primjeri za poligone.

Matematička definicija

Poligon je zatvorena figura, koja je definisana kroz torku $P:=\left(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{m},1\leq i\leq n$$P:=\left(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{m},1\leq i\leq n$ od $n$$n$ tačaka.

Stalni poligoni

Stalni poligoni

Poligon	Strana $a$$a$	Ugao $\alpha$$\alpha$	Obim $u$$u$	Površina $A$$A$
Trougao	$a=r\cdot {\sqrt {3}}$$a=r\cdot {\sqrt {3}}$	$120^{\circ }$$120^{\circ }$	$u=r\cdot 3\cdot {\sqrt {3}}$$u=r\cdot 3\cdot {\sqrt {3}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {3\cdot {\sqrt {3}}}{4}}$$A=r^{2}\cdot {\frac {3\cdot {\sqrt {3}}}{4}}$
Kvadrat	$a=r\cdot {\sqrt {2}}$$a=r\cdot {\sqrt {2}}$	$90^{\circ }$$90^{\circ }$	$u=r\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$$u=r\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$	$A=r^{2}\cdot 2$$A=r^{2}\cdot 2$
Petougao	$a=r\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$$a=r\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$72^{\circ }$$72^{\circ }$	$u=r\cdot 5\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$$u=r\cdot 5\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
Šestougao	$a=r$$a=r$	$60^{\circ }$$60^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6$$u\approx r\cdot 6$	$A={\frac {3}{2}}r^{2}{\sqrt {3}}$$A={\frac {3}{2}}r^{2}{\sqrt {3}}$
Sedmougao	$a\approx r\cdot 0{,}867767$$a\approx r\cdot 0{,}867767$	$51{\frac {3}{7}}^{\circ }$$51{\frac {3}{7}}^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}074372$$u\approx r\cdot 6{,}074372$	$A\approx r^{2}\cdot 2{,}736410$$A\approx r^{2}\cdot 2{,}736410$
Osmougao	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$45^{\circ }$$45^{\circ }$	$u=r\cdot 8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$$u=r\cdot 8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ $u\approx r\cdot 6{,}122935$$u\approx r\cdot 6{,}122935$	$A=r^{2}\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$$A=r^{2}\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}828427$$A\approx r^{2}\cdot 2{,}828427$
Devetougao	$a\approx r\cdot 0{,}68404029$$a\approx r\cdot 0{,}68404029$	$40^{\circ }$$40^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}15636258$$u\approx r\cdot 6{,}15636258$
Desetougao	$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $a\approx r\cdot 0{,}618034$$a\approx r\cdot 0{,}618034$	$36^{\circ }$$36^{\circ }$	$u=r\cdot 5\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$$u=r\cdot 5\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$ $a\approx r\cdot 6{,}180340$$a\approx r\cdot 6{,}180340$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
$n$$n$-ugao	$a=2\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$$a=2\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$	${\frac {360^{\circ }}{n}}$${\frac {360^{\circ }}{n}}$	$u=2\cdot n\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$$u=2\cdot n\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$
Limit $n\to \infty$$n\to \infty$ (Krug)	$\to 0$$\to 0$	$\to 0$$\to 0$	$u=r\cdot 2\cdot \pi$$u=r\cdot 2\cdot \pi$	$A=r^{2}\cdot \pi$$A=r^{2}\cdot \pi$

Računarska grafika

Poligon je veoma često korištena riječ u kompjuterskoj grafici, a odnosi se na površinu ograničenu sa najmanje tri tačke (engl. vertices). Kada ih spojimo dobićemo trougao koji je najjednostavniji poligon. Prave linije koje spajaju vertices poligona (tačke na uglovima poligona) se nazivaju ivice ili stranice poligona (engl. edges). Ivice poligona nemaju zajdničkih tačaka, osim tačaka spajanja na uglovima poligona. Ova definicija se odnosi na standardni poligon, koji je nazvan još i jednostavni poligon ili u kompjuterskoj grafici samo poligon. Poligon ne mora biti samo trougao, može se sastojati od konačnog boja linija (ivica), a ime mu se daje prema broju uglova koje posjeduje. Sa poligonima je lahko simulirati površinu nekog objekta, a skup poligona se naziva poligon mesh - Mreža Poligona.

Poligone možemo osim po broju uglova podijeliti u dvije skupine bitne za kompjutersku grafiku. U zavisnosti od skupine kojoj pripada poligon moramo ili ne moramo dodatno procesirati:

• Konveksni poligon (engl. Convex polygon)
• Konkavni poligon (engl. Concave polygon)

Također pogledajte

• Poliedar