Jednakostranični trougao

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake tj.

malo

i sva tri ugla jednaka

.

Presjek težišnih duži (), presjek visina (), simetrala stranica (centar opisane kružnice ), simetrala uglova (centar upisane kružnice ) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

Visine su međusobno jednake.

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

Formule[uredi | uredi izvor]

Equilateral-triangle-heights.svg

Veličine izražene preko stranice tougla

  1. površina
  2. obim
  3. poluprečnik opisane kružnice
  4. poluprečnik upisane kružnice ili
  5. visina .

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

Visina[uredi | uredi izvor]

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

,

kada se racionališe i skrati dobija se

.

Glavne osobine[uredi | uredi izvor]

Neka je dat trougao čije su stranice ,, poluobim , poluprečnik opisane kružnice i poluprečnik upisane kružnice [1]

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

Poluobim

Uglovi

  • .

Površina

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine[uredi | uredi izvor]

[2]

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

Ako su vrhovi trougla određeni su kompleksnim brojevima , , respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. je jednakostraničan trougao
  2. za
  3. za


Ako su ), i vrhovi pozitivno orijentisanog trougla , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

  1. je jednakostraničan trougao;
  2. , gde je
  3. , gde je

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti , i od vrhova , , i , važi

Za bilo koju tačku upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima , i od vrhova važi

Konstrukcija

malo

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

malo

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Izvođenje formule za površinu[uredi | uredi izvor]

malo

Formulu za površinu

lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme[uredi | uredi izvor]

Pomoću trigonometrije[uredi | uredi izvor]

U kulturi i društvu[uredi | uredi izvor]

  • Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
  • Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
  • Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
  • Na zastavi Filipina
  • Oblik saobračajnog znaka.

Izvor[uredi | uredi izvor]

  1. Equilateral Triangle
  2. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
  3. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
  4. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
  5. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
  6. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
  7. Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Glavne osobine
  2. ^ Odnos poluprečnika upisanog i opisanig kruga