Jednakostranični trougao

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake

$AB=BC=AC=>a=b=c$

i sva tri ugla jednaka

$\alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$.

Presjek težišnih duži ($T$), presjek visina ($H$), simetrala stranica (centar opisane kružnice $O$), simetrala uglova (centar upisane kružnice $O$) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

$t_{a}=t_{b}=t_{c}$

Visine su međusobno jednake.

$h_{a}=h_{b}=h_{c}$

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

$h\cong t\,$

Formule

Veličine izražene preko stranice tougla

1. površina $P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$
2. obim $O=3a\,\!$
3. poluprečnik opisane kružnice $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$
4. poluprečnik upisane kružnice $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ ili $r={\frac {R}{2}}$
5. visina $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$.

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

1. $P={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$
2. $R={\frac {2h}{3}}$
3. $r={\frac {h}{3}}$

Visina

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

$h={\frac {a\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{2}}$,

$P={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}$ ⇒ $h={\sqrt[{}]{\frac {3P}{\sqrt[{}]{3}}}}$

kada se racionališe i skrati dobija se

$h={\sqrt[{}]{\frac {3P\,{\sqrt[{}]{3}}}{3}}}={\sqrt[{}]{{P}\,{\sqrt[{}]{3}}}}$.

Glavne osobine

Neka je dat trougao $ABC$ čije su stranice $a$,$b$,$c$ poluobim $s$, poluprečnik opisane kružnice $R$ i poluprečnik upisane kružnice $r$

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

• $\displaystyle a=b=c$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$
• $\displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
• $\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}$

Poluobim

• $\displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r$
• $\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr$
• $\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r$
• $\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R$

Uglovi

• $\alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$.
• $\displaystyle \cos {\alpha }+\cos {\beta }+\cos {\gamma }={\frac {3}{2}}$
• $\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}={\frac {1}{8}}$

Površina

• $\displaystyle P={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}$
• $\displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}$

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

• $\displaystyle R=2r$
• $\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}$
• $\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}$

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

$t_{a}=t_{b}=t_{c}=t$

$h_{a}=h_{b}=h_{c}=t$

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine

${\frac {R}{r}}={\frac {\frac {a}{\sqrt {3}}}{{\frac {\sqrt {3}}{6}}a}}={\frac {6}{3}}=2$

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

${\frac {\frac {3a^{2}\pi }{36}}{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {12a^{2}\pi }{36a^{2}{\sqrt {3}}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}$

Ako su vrhovi $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ trougla $A_{1}A_{2}A_{3}$ određeni su kompleksnim brojevima $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $A_{1}A_{2}A_{3}$ je jednakostraničan trougao
2. $\mid z_{1}-z_{2}\mid =\mid z_{2}-z_{3}\mid =\mid z_{3}-z_{1}\mid$
3. $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}Z_{3}+z_{3}z_{1}$
4. ${\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}}$
5. ${\frac {1}{z-z_{1}}}={\frac {1}{z-z_{2}}}={\frac {1}{z-z_{3}}}$ za $z={\frac {z-1+z_{2}+z_{3}}{3}}$
6. $(z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3})(z_{1}+\epsilon ^{2}z_{2}+\epsilon z_{3})=0$ za $\epsilon =cos{\frac {2\pi }{3}}+isin{\frac {2\pi }{3}}$
7. ${\begin{vmatrix}1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\z_{2}&z_{3}&z_{1}\end{vmatrix}}=0$

Ako su $A1(a_{1}$), $A_{2}(a_{2})$ i $A_{3}(a_{3})$ vrhovi pozitivno orijentisanog trougla $A_{1}A_{2}A_{3}$, onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

1. $A_{1}A_{2}A_{3}$ je jednakostraničan trougao;
2. $z_{3}-z_{1}=\epsilon (z_{2}-z_{1})$, gde je $\epsilon =cos{\frac {\pi }{3}}+isin{\frac {\pi }{3}}$
3. $z_{2}-z_{1}=\epsilon (z_{3}-z_{1})$, gde je $\epsilon =cos{\frac {5\pi }{3}}+isin{\frac {5\pi }{3}}$
4. $z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3}=0$

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti $p$, $q$ i $t$ od vrhova $A$, $B$, i $C$, važi

$3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}$

Za bilo koju tačku $P$ upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima $p$, $q$ i $t$ od vrhova važi

$4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}$

Konstrukcija

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Izvođenje formule za površinu

Formulu za površinu

$P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

$A={\frac {1}{2}}ah.$

$\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}$

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$

$P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.$

Pomoću trigonometrije

$P={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

$P={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.$

$P={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

U kulturi i društvu

• Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
• Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
• Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
• Na zastavi Filipina
• Oblik saobraćajnog znaka.

Izvor

1. Equilateral Triangle
2. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
3. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
4. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
5. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
6. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
7. Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011