Mnogougao

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
malo

Neka imamo niz A1 , A2 , A3 , ....An (n različitih tačaka) tako da su svake tri uzastopne tačke nekolinearne. Ako svaku tačku tog niza spojimo sa sljedećom dobićemo niz duži A1 A2,A2,A3,...,,A(n-1) An. Uniju ovih duži nazivamo otvorena izlomljena linija određenom nizom tačaka A1 , A2, A3 , ....An koje zovemo vrhovi izlomljene linije.

Ako spojimo tačke A1 i An i gornjem nizu dodamo duž A1i An onda uniju duži A1 A2,A2,A3,..., A(n-1) An i A1An zopvemo zatvorena izlomljena linija sa istim vrhovima. Duži navedenog niza zovemo stranice izlomljene linije. Otvorenu i zatvorenu izlomljenu liniju navedenog niza označavamo sa A1 , A2 , A3 , ....An i A1i An. Prvu i poslednju tačku otvorene izlomljene linije nazivamo njenim krajevima.

Pošto po definiciji svake tri susjedne tačke nisu kolinearne to i susjedne duži ne leže na jednoj pravoj. Kako su vrhovi različite to je kod zatvorene izlomljene linije svaki vrh zajednički kraj dviju i samo dviju stranica. Kod otvorene linije prva i zadnja tačka su različite , one su krajevi samo jedne stranice.

Zatvorena linija ima isti broj stranica i vrhova, a otvorena ima jednu stranicu manje.

Definicija

Mnogougao je geometrijska figura u ravni ograničena zatvorenom izlomljenom linijom. Ima najmanje tri stranice i isto toliko uglova.

Mnogougao može biti

  1. konveksni
  2. nekonveksni (konkavni) i
  1. pravilni
  2. nepravilni


Vrste izlomljene linije[uredi | uredi izvor]

Za izlomljenu liniju kažemo da je prosta ako nesusjedne stranice nemeju zajedničkih tačaka.

Izlomljene linije su ravne ako su svi njeni vrhovi u jednoj ravni.

Trougaona linija je uvijek ravna.

Posmatraćemo samo ravne i proste izlomljene linije.

Definicija

Za zatvorenu izlomljenu liniju kažemo da je ispupčena (konveksna) ako je ona cijela u jednoj poluravni na koje prava koja prolazi kroz bilo koja dva susjedna vrha dijeli ravan.

Ako se izlomljena linija nalazi sa obje strane bar jedne prave koja prolazi kroz dva susjedna vrha onda je izlomljena linija udubljena ( konkavna)

Definicija

Onu poluravan kojoj je ivica prava koja prolazi kroz bilo koja dva susjedna vrha konveksne poligonalne linije u kojoj se nalazi ta linija zove se ravan te poligonalne linije.

Konveksni (ispupčeni) mnogougao omeđen datom izlomljenom linijom je presjek svih poluravni te linije.

Izlomljenu liniju kojom je omeđen taj mnogougao nazivamo rubom tog mnogougla.

Trougao je specijalan slučaj mnogougla. Nazivi mnogougla dolaze od broja stranica trougao, četverougao, petougao...

Kao i kod trougla definiše se unutrašnja i vanjska oblast mnogougla.

Pravilni mnogougao je onaj kojem su sve stranice jednake dužine i svi uglovi jednaki.

Nepravilni mnogougao je onaj koji ima nejednake stranice i uglove.

Formule[uredi | uredi izvor]

– n – broj stranica = broj unutrašnjih uglova = broj vrhova mnogougla

zbir unutrašnjih uglova
zbir spoljašnjih uglova
ukupan broj dijagonala
broj dijagonala iz jednog vrha

Površina[uredi | uredi izvor]

Površina prostog mnogouglova je

Pravilni mnogougao[uredi | uredi izvor]

Mnogougao je pravilni ako su mu sve stranice jednake dužine i svi uglovi jednaki. Za svaki pravilni mnogougao sa n stranica važi sledeće:

  • to je osnosimetrična figura sa n osa simetrije
  • ako je broj stranica paran, onda je on centralno simetričan
  • u njega se može upisati kružnica
  • oko njega se može opisati kružnica
  • centar opisane i centar upisane kružnice se poklapaju
  • svi unutrašnji uglovi su jednaki i iznose

  • svi spoljašnji uglovi su jednaki i iznose

  • zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla

  • centralni ugao je

  • površina je:

gdje je površina karakterističnog trougla mnogougla

  • Obim je:

, gde je dužina stranice.

Jednakostranični trougao je pravilni mnogougao (trougao) kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi .

Kvadrat je pravilni mnogougao (četverougao)kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi .

Pravilni petougao je pravilni mnogougao kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi

Izvori[uredi | uredi izvor]

Mnogougao