Sinusna teorema

Sinusna teorema

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$ gdje su $\ a,b,c$ stranice naspram uglova $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,$ u trouglu $\ ABC,$ a $\ R$ poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.$

Dokaz

• 

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.$CA'=2R$ je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom $BC=a$ jednaki, tj. $\alpha =\angle BAC=\angle BA'C,$ i periferni ugao $\angle CBA'$ nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo $\sin \alpha ={\frac {a}{2R}},$ odnosno ${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.$

Slično dobijamo za uglove $\beta ,\;\gamma$

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

$\angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).$

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:

${\displaystyle AD:AC=\sin \phi$ :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .} Otuda je $\ AD:AC=DB:CB,$

Površina trougla

$P={\frac {1}{2}}b(c\sin \gamma )={\frac {1}{2}}c(a\sin \beta )={\frac {1}{2}}a(b\sin \gamma )\,.$

${\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,.$

Primjeri

Sinusna teorema se primjenjuje:

1. Kada su data dva ugla i jedna stranica
2. Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Primjer 1

Neka su date stranice trougla $a=20$, i $c=24$, i ugao $\gamma =40^{\circ }$.

${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.$

$\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Primjer 2

U $\Delta ABC,\;BC=7,\;\angle A=41^{\circ },\;\angle B=62^{\circ }.$ Naći dužinu stranice AC.

Rešenje:

${\frac {7}{\sin 41^{\circ }}}={\frac {b}{\sin 62^{\circ }}}\Rightarrow b={\frac {7\sin 62^{\circ }}{\sin 41^{\circ }}}=9{,}4208....$

Prema tome

$AC=9{,}42$.

Primjer 3

U trouglu ABC zadano je $AC=15,\;\angle A=107^{\circ },\;\angle B=32^{\circ }$ naći AB.

Rešenje:

Iz $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ },$ proizlazi $\angle C=41^{\circ }.$

Zatim, iz sinusne teoreme

${\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},$ tj.

${\frac {15}{\sin 32^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 41^{\circ }}},$ dobijamo $c={\frac {15\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}}=18{,}5705....$

Prema tome, stranica AB = 18,57.

Odnos prema kružnici

Iz identiteta

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}},\!$

Također pogledajte

• Tangensni teorem

Vanjski linkovi

• Sine theorem
• Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized Law of Sines
• Law of Sines