| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.
Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc). [1]
Odnosno:

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.
Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.
Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.
Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.
Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.
Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.
Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).
Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku
, tj.
- Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla
definišu se jednakostima
sinus i kosinus su realni brojevi.
tangens i kotangens
sekans i kosenkans
kosinus versus i sinus versus
Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću
Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao
može rasti do
i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla
. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu.
To se vidi iz tabele [2]
Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant |
1. (0°-90°) |
2. (90°-180°) |
3. (180°-270°) |
4. (270°-360°)
|
sinus
|
+ |
+ |
- |
-
|
kosinus
|
+ |
- |
- |
+
|
tangens
|
+ |
- |
+ |
-
|
Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: [3]



Funkcije kosinus i sinus imaju period
, a tangens
:

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule [4]

Period funkcije
je
, odnosno
.
Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,
na način vidljiv u sljedećoj tabeli
 |
 |
 |
 |
T |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način




- f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
- g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.
Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: [5]
Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija
 |
0° |
30° |
45° |
60° |
90°
|
|
0 |
 |
 |
 |
1
|
|
1 |
 |
 |
 |
0
|
|
0 |
 |
1 |
 |
|
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.


Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.
majući u vidu jednakosti

,


u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:




Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:







З

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost




- Dokaz
pa je
kada 
- Zbog
биће 
- Izvod količnika

- Izvod količnika

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina
[uredi | uredi izvor]
Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

- uslov
.


Inverzne trigonometrijske funkcije su
arkus sinus
arkus kosinus
arkus tangens
arkus kotangens
One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

inus versus je trigonometrijska funkcija
Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.
Svugdje je definisana.
Nule su u tackama
, a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je
, minimumi su u nulama, a maksimumi
Funkcija sinus versus ugla alfa je
.
Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.
(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.
- Trigonometrija - osnovne formule
- Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
- trigonometrijske funkcije
- Trigonometric functions
- Tablica izvoda Arhivirano 17. 5. 2017. na Wayback Machine
- Versine
- Coversine