Fraktal

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Bih-usa.svg Neke riječi u sljedećem pasusu trebaju prijevod sa hrvatskog jezika na bosanski jezik.
Ako smatrate da ste sposobni da prevedete sporne riječi, kliknite na link uredi i prevedite ga vodeći računa o stilu i pravopisu bosanskog jezika.

Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije. Drugim riječima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi, i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka. Oni su (barem približno) međusobno samoslični (sastoje se od umanjenih verzija samih sebe), ali isuviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom. Tako npr. dužina nije fraktal, iako je samoslična (sastoji se od beskonačno mnogo dužina, a sve su dužine slične). Laički rečeno, oni su "načičkani" do u beskonačnost.

Osnove[uredi | uredi izvor]

Samosličnost Kochove krivulje
Kochova kriva, prva iteracija
Kochova kriva, druga iteracija

Kao jedan od najjednostavnijih i najpoznatijih primjera navest ćemo Kochovu krivu. Ona se tvori tako da se dužina zamijeni likom prikazanim na prvoj slici lijevo. To se naziva prvom iteracijom Kochove krivulje. Druga se iteracija dobije tako da se svaka od četiri dužine iz prve iteracije zamijeni istim likom. Za treću iteraciju moramo zamijeniti svaku od 16 dužina itd. Kochovu krivulju dobijemo nakon beskonačnog broja iteracija. Na donjoj slici desno vidi se svojstvo samosličnosti - svaki je dio Kochove krivulje sličan cijeloj krivoj.

Još je jedan jednostavan primjer trougao Sierpińskog. Kreće se od trougla (nulta iteracija) koji se zamijeni trima trougaoima upola manje dužine stranice (prva iteracija). Sa svakim se trouglom postupak ponovi (druga iteracija), i tako u beskonačnost.

Nulta i prve četiri iteracije trougaoa Sierpińskog

Fraktalna dimenzija[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Fraktalna dimenzija

Nakon velikog broja iteracija možemo vidjeti da dužina Kochove krivulje teži u beskonačnost kad broj iteracija teži u beskonačnost. No, cijela ta dužina je i dalje na istoj površini, samo je "zgužvana". Stepen te "zgužvanosti" možemo vidjeti iz fraktalne dimenzije. Drugim riječima, ona nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal zauzima ravan (ili općenito n-dimenzionalni prostor u kojem se nalazi). Tako Kochova kriva ima fraktalnu dimenziju približno 1.2619, a tepih Sierpińskog približno 1.8928. Iz vrijednosti, kao i iz slika, može se vidjeti da je tepih Sierpińskog "gušći", "načičkaniji" od Kochove krive, odnosno ispunjava veći dio ravni.

Podjela[uredi | uredi izvor]

Postoje razni načini klasifikacije fraktala. Jedan je od načina svrstati ih po stupnju samosličnosti. Potpuno samoslični fraktali su oni koji sadrže kopije sebe koje su slične cijelom fraktalu. Primjeri su svi geometrijski fraktali, npr. trougao Sierpińskog, Kochova kriva, Hilbertova kriva, Cantorov skup itd. Ako fraktal sadrži male kopije sebe koje nisu slične cijelom fraktalu, nego se pojavljuju u iskrivljenom obliku, govorimo o kvazi samosličnom fraktalu (Mandelbrotov i Julijin skup i sl.). Moguće je i da fraktal ne sadrži kopije samog sebe, ali da neke njegove osobine (npr. fraktalna dimenzija) ostaju iste pri različitim mjerilima. U tom slučaju govorimo o statističkoj samosličnosti, a tipičan je primjer Perlinov šum.

Fraktale je moguće klasificirati i po načinu njihova nastanka. Sistemi iteriranih funkcija (Iterated Function Systems – IFS) nastaju kopiranjem te homotetijom, rotiranjem i/ili translatiranjem kopije te mogućim zamjenjivanjem nekog elementa kopijom. Fraktali definisani rekurzivnim relacijama određeni su rekurzivnom matematičkom formulom koja određuje pripada li određena tačka prostora (npr. kompleksne ravni) skupu ili ne. Slučajni fraktali nastaju crtanjem grafova nekih stohastičnih procesa, npr. Brownovog kretanja. Zanimljivo je da i prva i druga podjela daje isti rezultat – sistemi iteriranih funkcija daju potpuno samoslične fraktale, fraktali definirani rekurzivnim relacijama su kvazi samoslični, a slučajni su fraktali samo statistički samoslični. Zbog jednostavnosti, za te ćemo tri grupe koristiti redom nazive geometrijski, algebarski i stohastični fraktali.

Primjena[uredi | uredi izvor]

Postupak stvaranja terena pomoću fraktala
Planina stvorena koristeći Perlinov šum

Najjednostavniji primjer primjene fraktala u računarskoj grafici jest stvaranje terena, posebno planina. Planina se tvori tako da se horizontalno položenom trougaou svaki vrh povisi ili snizi za slučajno odabranu vrijednost. Tako dobivenom trouglu spoje se polovišta stranica te se tako dobijaju četiri nova trougla. Srednjemu od njih (omeđen trima dužinama koje spajaju polovišta stranica prvotnog trougaoa) povisimo ili snizimo vrhove kao i početnom trougaou, ali koristimo dvostruko manje vrijednosti. Postupak sada ponovimo za sva četiri trougla. Planine se mogu napraviti i na drugi način, pomoću Perlinovog šuma.

Raslinje stvoreno pomoću fraktala

Pomoću sistema iteriranih funkcija u tri dimenzije moguće je kreirati raznoliko raslinje – grmove, drveće, busene trave i sl. Ako isto napravimo u trodimenzionalnom sistemu te na kraj svake "grančice" dodamo list, rezultati mogu biti zapanjujuće slični stvarnim pojavama u prirodi.

Nadalje, fraktali se koriste i u kompresiji podataka. Od manje važnih primjena tu je (naravno, vrlo ograničeno) predviđanje nekih stohastičkih procesa kao što su potresi; slaganje snopova optičkih vlakana, oponašanje rada neuronskih mreža za razvoj umjetne inteligencije itd. Za male uređaje kao što su mobiteli proizvode se antene u obliku fraktala koje zbog toga mogu koristiti širok spektar frekvencija ne zauzimajući mnogo mjesta. Uzorak za vojnu kamuflažnu odjeću koristi fraktalnu strukturu koja se nigdje ne ponavlja te se stoga mnogo teže zamjećuje u prirodi, gdje ništa nije matematički pravilno. Provode se istraživanja za liječenje aritmije srca, gdje srce kuca u kaotičnom režimu. Vanjskom stimulacijom srca pokušava se postići prijelaz u pravilan režim. Naposlijetku, neke su fraktalne strukture izrazito lijepe te se prezentiraju kao umjetnička djela.

Fraktali u prirodi[uredi | uredi izvor]

U ovoj brokuli se jasno vidi fraktalna struktura.
Kristalizirani med daje fraktalnu strukturu.

Mogućnost primjene fraktala leži u činjenici da mnogi od njih sliče prirodnim pojavama. Često se kao primjer spominje posebna vrsta brokule te paprat. Med kristalizira u fraktalne oblike, a drveće je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na grančice...). Zapravo, na neki je način gotovo cijeli svijet sačinjen od fraktalnih oblika. Mandelbrot je koristio primjer obale mora kao fraktal – uvale sliče zalivima, hrtovi poluostrva... Kad bismo se malo približili, svaka bi stijena sličila poluostrvu. Veće približavanje otkriva izbočine u stijeni koje također podsjećaju na poluostrva. U tim izbočinama postoje sitne udubine koje imaju isti oblik kao i zaljevi. Takav se postupak može nastaviti sve do molekulskih razmjera. Mnogo je dijelova ljudskog tijela fraktalne strukture. Očit je primjer sistem krvnih žila, koje u principu imaju istu strukturu kao i drveće. DNA se namota dajući fraktalnu strukturu.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons
Commons: Fraktal