T-linijar (fraktal)

Za druga značenja, pogledajte T-linijar.

T-linijar, osma iteracija

T-ravnalolinijar je fraktal fraktalne dimenzije 2, te prvi topološke dimenzije. Ime je dobio po crtaćem priboru.

Konstrukcija

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalomlinijarom zovemo granicu crne i bijele površine.

Osobine

T-ravnalo je beskonačno duga kriva, ali ona okružuje konačnu površinu. Dužina krive nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine dužine po ${\frac {1}{2}}$ te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice dužine ${\frac {1}{2}}$ i dvije deljine ${\frac {1}{4}}$, pa je to $2+6=8$. Površina se poveća za ${\frac {3}{4}}$ (četiri dodatna kvadrata površine ${\frac {1}{4}}$, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, dužina krive jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje ${\frac {3}{4}}$) te 9 od novih kvadrata (dužina granice svakog od 12 kvadrata jest ${\frac {3}{4}}$), dakle $2+3+9=14$. Površina se povećava za ${\frac {9}{16}}$ (svaki od 12 kvadrata ima površinu ${\frac {3}{64}}$). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, dužina krive je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

$1+{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{16}}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {3}{4}}}}=4$.

Također pogledajte

• Fraktal
• Beskonačno guste krive