Mersenneovi prosti brojevi

Mersenneovi prosti brojevi su prosti brojevi oblika $2^{n}-1$

Nije poznato ima li ovih brojeva konačno ili beskonačno mnogo.

Naziv su dobili po matematičaru Marinu Mersenneu (8. septembar 1588 - 1. septembar 1648) koji je bio francuski teolog, filozof, matematičar i teoretičar muzike, koga često nazivaju ocem akustike. Mersenne je bio centar naučnog svijeta i svijeta matematike u prvoj polovini 17. stoljeća. U knjizi Cogita Physico–Mathematica iznio je tvrdnju da je broj $2^{n}-1$ za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 prost, a za sve druge prirodne brojeve manje od 257 da je složen broj. Kasnije su provjere pokazale da je Mersenne pogriješio i da brojevi $m_{67}$ i $m_{257}$ nisu prosti, a da su prosti brojevi $m_{61}$, $m_{89}$ i $m_{107}$.

Do danas su poznata 52 Mersenneova broja, a u donjoj tabeli navedeno je nekoliko njih:

n	broj cifri	godina	otkrio
1 257 787	378632	1996.	Slowinski i Gage
1 398 269	420 921	1996.	Armengaud i Woltman
2 976 221	895 932	1997.	Spence i Woltman
3 021 377	909 526	1998.	Clarkson
6 972 593	2 098 960	1999.	Hajratwala

Godine 1963. u Sjedinjenim Americkim Državama kreiran je poštanski pečat na kojem stoji zapis da je broj $2^{11213}-1$ prost. A na memorandumu velikog proizvodača računala IBM–a neko je vrijeme stajalo zapisano da je broj $2^{19937}-1$ prost.

Mersseneova tvrdnja probudila je veliko zanimanje zato što su brojevi toliko veliki da nekoliko stotina godina niko nije mogao potvrditi ni opovrgnuti njegovu tvrdnju. Tadašnjim matematičarima bilo je jasno da Mersenne nije mogao provjeriti tvrdnju za sve navedene brojeve, ali isto tako nisu mogli ni oni. Leonhard Euler pokazao je 1772. godine da je $m_{31}$ prost tako što je provjerio sve proste brojeve do 46339 kao moguće djelitelje, ali tu metodu nije mogao upotrijebiti na brojevima $m_{67}$, $m_{127}$ i $m_{257}$. Na sličan način je Pietro Cataldi 1588. godine pokazao da su $m_{17}$i $m_{19}$ prosti brojevi.

Provjera da li je neki broj oblika $2^{n}-1$ Mersenneov ili nije je komplikovana. Broj $2^{n}$ vrlo brzo raste pa je neophodno u provjerama koristiti računare. No neki stariji rezultati su uistinu impresivni. Francuski matematičar Edouard Lucas (1842. - 1891.) dokazao je 1876. da je broj

$m_{127}=170141183460469231731687$$303715884105727$ prost broj.

Lucas je pritom razvijao metode kojima bi se postupak provjere što vise pojednostavio, pa ga danas smatraju pionirom modernog numeričkog računa. Važan je rezultat kako broj $2^{n}-1$ uopšte može biti prost samo ako je $n$ prost. Uz traganje za Mersenneovim brojevima vezan je niz detalja. Tako su, primjerice Laura Nickel i Curt Noll, dvoje osamnaestogodišnjih studenata Kalifornijskog sveučilista u Haywardu, otkrili uz pomoć računara da je $2^{21701}-1$ prost broj. Taj broj sastoji se od $6533$ cifri. Također, devetnaestogodišnji Amerikanac Ronald Clarkson je 1998. na svom kućnom računaru otkrio Mersenneov broj $m_{3021377}$ u čijem je zapisu $909526$ cifri.