Visina trougla

malo

Visina trougla je duž određena vrhom trougla i podnožjem normale spuštene iz tog vrha na naspramnu stranicu trougla.

U svakom trouglu moguće je konstruisati tri visine. Presjek svih visina u trouglu naziva se ortocentar.

To je najkraće rastojanje od vrha do naspramne stranice. Visina se obično obilježava latiničnim slovom $h$.

Visina je normalna na tu stranicu, a ta stranica se naziva osnovica. Presjek visine i osnovice naziva se podnožje visine.

Dužina visine je rastojanje između vrha trougla i podnožja visine.

Visina trougla koristiti se za izračunavanje površine trougla, koja je jednaka polovini proizvoda osnovice i visine:

$P={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}$

Visina u različitim vrstama trougla

Visina u pravouglom trouglu

malo

U pravouglom trouglu dvije visine se poklapaju sa katetama, a treća visina dijeli hipotenuzu na odsječke $p$ i $q$. Formula koja ih povezuje sa visinom koja ih dijeli glasi

$h={\sqrt {pq}}$ .

Visina u jednakokrakom trouglu

U jednakokrakom trouglu podnožje visine se poklapa sa središtem stranice. U ovom slučaju, visina se poklapa sa simetralom ugla i simetralom stranice.

Ortocentar

Ortocentar trougla je tačka u kojoj se sijeku sve tri visine trougla.

Ortocentar pripada unutrašnjosti trougla ako i samo ako je trougao oštrougli.

U pravouglom trouglu, ortocentar se nalazi u vrhu kod pravog ugla, dok se u tupouglom trouglu ortocentar nalazi izvan trougla.

Ortocentrični sistem

Ortocentrični sistem je sistem od četiri tačke u ravni - ortocentar trougla ($H$) zajedno sa sva tri njegova vrha ($A$, $B$ i $C$).

Za četiri tačke u ortocentričnom sistemu karakteristično je da je u isto vrijeme svaka od njih ortocentar za trougao koji obrazuju preostale tri tačke kao njegovi vrhovi. Ovako definisana četiri trougla: $ABC$, $ABH$, $ACH$ i $BCH$ imaju zajedničku Ojlerovu kružnicu.

Heronova formula

Heronova formula daje obrazac za izračunavanje dužine visine u trouglu poznavanjem dužina sve tri stranice.

U trouglu $ABC$ u kojem su dužine stranica $a$, $b$ i $c$, i $s=(a+b+c)/2$, visina normalna na stranicu $a$ računa se po formuli

$h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$

Odnosi

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta$ $h_{a}={\frac {2P}{a}}$,

$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab$

${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}$,

r radijus upisane kružnoce. $h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$, gdje je c osnova

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ — za istostranični trougao

Izvori

http://math.about.com/od/glossaryofterms/g/Definition-Of-Altitude.htm

http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html

http://gujarat-education.gov.in/textbook/Images/9sem2/maths-9eng/chap14.pdf

http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Rusanova/triangls.htm