Algebra

Algebra iskaza

-Def:Svaka smislena rečenica, izjava, tvrdnja, formula, za koju možemo utvrditi da li je tačna ili netačna naziva se iskaz. -Npr.“mlijeko je crno“ je netačan iskaz.

„5<7“-je netačan iskaz, „X>10“-nije iskaz jer možemo utvrditi istinitost te rečenice.

-Iskaze označavamo malim slovima: p,g,r,s,t,a njihove vrijednosti istinitosti sa T (ili 1),ako je iskaz tačan,odnosno sa (ili Q),ako je iskaz netačan.Funkciju koja određuje vrijednost istinitosti označimo sa i pišemo (p)=1 ako je „p“ tačan iskaz i i (g)=0 ako je „g“ netačan iskaz. -U skup svih iskaza uvodimo operacije sa iskazima i negacijama, konjukcija, disjunkcija, isključna disjunkcija,implikacija i ekvivalencija(T, ,V, ).

-Negacija iskaza „p“ je iskaz „Tp“ koji je tačan ako je „p“ netačan,a netačan ako je ž2p“ tačan.

-Konjukcija dva iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g koji je tačan ako i samo ako su dva iskaza „p“ i „g“ tačni.

-Disjunkcija dva iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz pVg koji je tačan ako i samo ako je barem jedan od iskaza „p“ i „g“ tačan.

-Implikacija iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g (ako „p“,onda“g“) koji je netačan jedino u slučaju kada je „p“ tačan a „g“ netačan iskaz.

-Ekvivalencija iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g(ako i samo ako) koji je tačan ako i samo ako „p“ i „g“ imaju iste vrijednosti istinitosti.

-Def:Algebarska struktura (0,1);T, ,V, ,tj.skup svih tačnih i netačnih iskaza sa operacijama,definicijama između njih naziva se algebra iskaza.

-Algebarska struktura (0,1); ,V naziva se Boole-ova algebra.

-Primjenom konačnog broja prostih iskaza i operacija sa iskazima dobijamo složene iskaze koje zovemo i iskazne formule.Njih najčešće označavamo velikim slovima: Npr. F:(p Tg)Vr G:(Tg g) r,itd.ž -Za dvije formule A i B kažemo da su semantički ekvivalentne (istovrijedne) ako su za sve vrijednosti istinitosti prostih iskaza koji u njima učestvuju odgovarajuće vrijednost simbolističkih formula A i B međusobno jednake. Tada pišemo:A=B,ili A B. Vrijednosti stinitosti iskazanih formulama provjeravamo primjenom tabele istinitosti. -Iskazne formule možemo podijeliti na tautologije, kontradikcije i alternativne formule. -Tantologija(kontički tačna formula)je tačna za sve vrijeednosti istinitosti prostih iskaza koji u njoj učestvuju. -Kontradikcije (indentički netačna formula) je uvijek netačna, a alternativna formula je za neke vrijednosti prostih iskaza tačna, a za neke druge vrijednosti netačna.

Neke tautologije:

1)T(p g)=TpVTg, T(pVg)=Tp Tg (De Morgon-ove formule)

2)(p g) (Tg Tp) (zakon kontrapozicije(kontradikcije))

3)pVTp=1 (zakon isključenja trećeg)

4)(p g) TpVg (zamjena implikacije disjunkcijom)

5)(p g) (p p)

6)(p (zamjena ekvivalencije konjukcijom i disjunkcijom).

-Poznate su razne interpretacije algebre iskaza i interpretacija pomoću strujnog kola, aritmetička interpretacija,interpretacija modula,itd.

-Npr.kod interpretacije pomoću strujnog kola prostim iskazima odgovaraju prekidači u strujnom kolu upaljeni ili ugašeni,u aktivnosti da li je iskaz tačan ili netačan. Konjukciji dva iskaza odgovara seriske veze,a disjunkcija paralelna veza.

-Npr.formuli F:(Tp g

(T(Tp)Vr) g (pVr) g

Odgovara strujno kolo:

(F)=1 , 

Rečenice: X<5, + =4, x-y+r=10 Nisu iskazi jer ne možemo odrediti vrijednosti istinitosti tih rečenica. Takve rečenice zovemo predikatima(jednosmjernim,dvosmjernim,trosmjernim,...). Uz njih često koristimo pomoćne simbole: (za svaki )univerzalni kvantiefekat,i (postoji)-egzintencijalnom kvantitorom. ( +y je tačan iskaz ako ( X X<-1 je netačan iskaz. -Dakle primjenom kvantifaktora odpredikata dobijemo iskaze. -Matematička disciplina koja detaljno označava algebru iskaza naziva se MATEMATIČKA LOGIKA.

Algebra skupova

Pojam skupa smatra se osnovnim pojmom u matematici i ne definiše se. Skup spoznajemo preko njegovih elemenata.Skup zadajemo anabolički ili grafički,anabolički,analitički,nabrajanjem elemenata skupa ili davanjem svojstva koje elementi skupa zadovoljavaju a grafički pomoću Venovog dijagrama ili prikazom u koordinatnom sistemuz.Skupove označavamo velikim slovima. Razlikujemo konačne i beskonačne skupove. Poredak elemenata nije važan u skupu.

Npr.A=(a.A,1)=(A,a,1) -Ako elementi skupa zadovoljavaju neko zajedničko svojstvo P(X) tada možemo pisati: A(X/P(X)),ili A=(X:P(X)) Npr. A=(x:IXI<4)=(-3,-2,-1,0,1,2,3); ili B=(X,Y):X +Y 9)predstavlja skup svih tačaka u X0Y ravni koje se nalaze na ravni i izvan kružnice X +Y =9 -Skup realnih brojeva R grafički je predstavljen brojem(realnom)osom(pravom). Grafička funkcija Y=F(X) su skupovi međusobno povezani tačaka u ravni. -Skupove koje često koristimo korisno je označiti istim slovima. Npr.skup prirodnih,cijelih,racionalnih,iracionalnih,realnih,kompleksi brojeva označavamo redom se N,Z,Q,I,R,C.

Inkluzija i jednakost skupova

-Def:-Za skup A kažemo da je podskup skupa B i pišemo A B,ako i samo ako je svaki element skupa A ujedno element i skupa B.Simbolički to zapisujemo(A B) ( XY A) (X . -Ako je B i u skupu B postoji baremk jedan element y B koji nije u skupu A tada kažemo da je A pravi podskup skupa B.Simbolički to zapisujemo (A<B) (A B A B). -Relacija < zove se inkluzija. -Za skupove brojeva N,Z,Q,R,C imamo ovaj nizinkluzija:N<Z<Q<R<C.B i -Def:-Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A=B ak je A B i B A. Simbolički: (A=B) ). -Čest je slučaj skupova A i B takvih da nije A B niti B A.Tada kažemo da su skupovi A i B neporedivi. -Prazan skup (ili ) je skup koji nema nijednog elementa.On je pdskup svakog skupa.

Operacije sa skupovima

-Presjek skupa A i B je skup A B koji sadrži zajedničke elemente skupova A i B. Pišemo: A B=(X:X ). -U slučaju da je A B = , tada kažemo da su skupovi A i B disjuktivni. -Unija skupova A i B je skup AUB koji sadrži one i samo one elemente koji pripadaju barem jednom od skupova A i B.Pišemo:AUB=(X:X B). -Neka je A B Kompelent (dopuna)skupa A u odnosu na skup B je skup svih elemenata iz B koji ne pripadaju skupu A.Pišemo: C (A)=(X ). -Razlika skupova A i B je skup A/B koji sadrži one elemente skupa A koji nisu u skupu B. Pišemo: A/B=(X:X ). -Simetrična razlika skupova A i B je skup A B koji sadrži sve elemente skupova A/B i B/A. Pišemo: A A/B)U(B/A). -Partitivni skup skupa A je skup svih podskupa skupa A.Pišemo: P(A)=(X:X A).Ako je skup A konačan i ima elemenata tada njegov pozitivni akup P(A)ima 2 elemenata. -Npr:za A=(1,*,a) je P(A)=( ,(1),(*),(a),(1,*),(1,a),(*,a),(1,*,a)).