Implicitna jednačina

Šablon:Calculus U matematici, implicitna jednačina je relacija oblika $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$, gdje je R funkcija od nekoliko varijabli (često polinom). Naprimjer, implicitna jednadžba jedinični krug je $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Implicitna funkcija je funkcija koja je definirana implicitnom jednačinom, koja povezuje jednu od varijabli, smatra se vrijednošću funkcija, dok se ostale smatraju argumentima. Naprimjer, jednadžba $x^{2}+y^{2}-1=0$ jediničnog kruga definira y kao implicitnu funkciju x ako je −1 ≤ x ≤ 1, a y je ograničen na nenegativne vrijednosti.

Teorema o implicitnoj funkciji pruža uslove pod kojima neki tipovi implicitnih jednačina definiraju implicitne funkcije, naime one koje se dobijaju izjednačavanjem sa nula multivarijabilnih funkcija koje su kontinuirano diferencibilne.

Primjeri

Inverzne funkcije

Uobičajeni tip implicitne funkcije je inverzna funkcija. Nemaju sve funkcije jedinstvenu inverznu funkciju. Ako je g funkcija x koja ima jedinstvenu inverziju, tada je inverzna funkcija g, zvana g⁻¹, je jedinstvena funkcija koja daje rješenje jednačine

$y=g(x)$

za x u smislu y. Ovo rješenje se tada može zapisati kao

$x=g^{-1}(y)\,.$ Definisanje g⁻¹ kao inverznog od g je implicitna definicija. Za neke funkcije g, g⁻¹(y) se može eksplicitno ispisati kao izraz zatvorene forme — naprimjer, ako je g(x) = 2x − 1, onda g ⁻¹(y) = 1/2(y + 1). Međutim, to često nije moguće ili samo uvođenjem nove oznake (kao u primjeru log proizvoda ispod).

Intuitivno, inverzna funkcija se dobija iz g, zamjenom uloga zavisnih i nezavisnih varijabli.

Primjer: log proizvoda je implicitna funkcija koja daje rješenje za x jednačine y − xe ^x = 0.

Algebarske funkcije

Glavni članak: Algebarska funkcija

Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava polinomsku jednadžbu čiji su koeficijenti sami polinomi. Naprimjer, algebarska funkcija u jednoj varijabli x daje rješenje za y jednačine

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,$

gdje su koeficijenti a_i(x) polinomske funkcije od x. Ova algebarska funkcija se može napisati kao desna strana jednačine rješenja y = f(x). Ovako napisana, f je višeznačna implicitna funkcija.

Algebarske funkcije imaju važnu ulogu u matematičkoj analizi i algebarskoj geometriji. Jednostavan primjer algebarske funkcije dat je lijevom stranom jednadžbe jediničnog kruga:

$x^{2}+y^{2}-1=0\,.$

Rješavanje za y daje eksplicitno rješenje:

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$

Ali čak i bez specificiranja ovog eksplicitnog rješenja, moguće je implicitno rješenje jednadžbe jediničnog kruga pozvati kao y = f(x), gdje je f viševrijedna implicitna funkcija.

Dok se eksplicitna rješenja mogu naći za jednačine koje su kvadratne, kubne i kvartne u y, isto nije općenito vrijedi za kvintne i jednačine višeg stepena, kao što je

$y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.$

Ipak, i dalje se može pozvati na implicitno rješenje y = f(x) koje uključuje viševrijednu implicitnu funkciju f .

Upozorenja

Ne podrazumijeva svaka jednačina R(x, y) = 0 grafikon jednoznačne funkcije, a jednačina kružnica je jedan istaknuti primjer. Drugi primjer je implicitna funkcija data sa x − C(y) = 0, gdje je C kubni polinom ima "grbu" u svom grafikonu. Dakle, da bi implicitna funkcija bila "istinita" (jednoznačna) funkcija, možda će biti potrebno koristiti samo dio grafikona. Implicitna funkcija se ponekad može uspješno definirati kao istinita samo nakon "zumiranja" na nekom dijelu x-ose i "odsjecanja" nekih neželjenih grana funkcije. Tada se može napisati jednačina koja izražava y kao implicitnu funkciju ostalih varijabli. Jednačina koja definiše R(x, y) = 0 također može imati druge patologije. Naprimjer, jednadžba x = 0 ne implicira funkciju f(x) koja daje rješenja za y uoće; to je vertikalna linija. Da bi se izbjegao ovakav problem, često se nameću različita ograničenja na dozvoljene tipove jednačina ili na domen. Teorema o implicitnoj funkciji pruža jedinstven način rukovanja ovim tipovima patologija.

Implicitna diferencijacija

U računu, metod zvani implicitna diferencijacija koristi pravilo lanca za razlikovanje implicitno definiranih funkcija.

Za razlikovanje implicitne funkcije y(x), definisane jednadžbom R(x, y) = 0, općenito nije moguće to riješiti eksplicitno za y i potom diferencirati. Umjesto toga, može se potpuno diferencirati R(x, y) = 0 u odnosu na x i y, a zatim riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu za dy/dx da bi se eksplicitno dobio izvod u terminima x i y. Čak i kada je moguće eksplicitno riješiti originalnu jednadžbu, formula koja proizlazi iz totalne diferencijacije je općenito mnogo jednostavnija i lakša za korištenje.

Primjeri

Primjer 1

Zamislimo

$y+x+5=0\,.$

Ovu jednačinu je lahko riješiti za y, dajući

$y=-x-5\,,$

gdje je desna strana eksplicitni oblik funkcije y(x). Diferencijacija tada daje dy/dx = −1.

Alternativno, može se potpuno razlikovati originalna jednačina:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}$

Rješavanje za dy/dx daje

${\frac {dy}{dx}}=-1\,,$;

isti odgovor kao i prethodno dobijen.

Primjer 2

Primjer implicitne funkcije za koju je implicitna diferencijacija lakša od korištenja eksplicitne diferencijacije je funkcija y(x) definirana jednadžbom:

$x^{4}+2y^{2}=8\,.$

Da bi se ovo eksplicitno razlikovalo u odnosu na x, prvo treba dobiti

$y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,$

a zatim diferencirati ovu funkciju. Ovo stvara dva izvoda: jedan za y ≥ 0 i drugi za y < 0.

Znatno je lakše implicitno diferencirati originalnu jednačinu:

$4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

davanjem

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.$

Primjer 3

Često je teško ili nemoguće eksplicitno riješiti y, a implicitna diferencijacija je jedini izvodljivi metod diferencijacije. Primjer je jednadžba

$y^{5}-y=x\,.$

Nemoguće je algebarski izraziti y eksplicitno kao funkciju x, pa se stoga ne može pronaći dy' '/dx eksplicitnom diferencijacijom. Koristeći implicitni metod, dy/dx se može dobiti diferenciranjem jednačine da se dobije

$5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,$

gdje je dx/dx = 1. Faktoriranje dy/dx pokazuje da

$\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,$

što daje rezultat

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,$

koji je definisan za

$y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.$

Opća formula za izvođenje implicitne funkcije

Ako je R(x, y) = 0, derivat implicitne funkcije y(x' ') je dat pomoću

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,$

gdje R_x i R_y označavaju djelimični derivati R u odnosu na x i y.

Gornja formula dolazi od upotrebe generalizovanog lančanog pravila da se dobije ukupni derivat — u odnosu na x — obje strane R(x, y) = 0:

${\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

dakle

${\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

koji, kada je riješen za dy/dx, daje izraz iznad.

Teorema implicitne funkcije

Jedinični krug može se definisati implicitno kao skup tačaka (x, y) koji zadovoljavaju x² + y² = 1. Oko tačke A, y se može izraziti kao implicitna funkcija y(x). (Za razliku od mnogih slučajeva, ovdje ova funkcija može biti eksplicitna kao g₁(x) = Šablon:Sqrt.) Takva funkcija ne postoji oko tačke B, gdje je tangentni prostor okomit.

Glavni članak: Teorema implicitne funkcije

Neka R(x, y) bude diferencijabilna funkcija dvije varijable, a (a, ' 'b) biti par stvarni broj takvih da je R(a, b) = 0. Ako je ∂R/∂y ≠ 0, onda R(x, y) = 0 definiše implicitnu funkciju koja se može diferencirati u nekom dovoljno malom susjedstvu od Šablon:Open-open; drugim riječima, postoji diferencijabilna funkcija f koja je definirana i diferencibilna u nekom susjedstvu a, tako da je R(x , f(x)) = 0 za x u ovom susjedstvu.

Uslov ∂R/∂y ≠ 0 znači da (a, b) je regularna tačka implicitne krive implicitne jednačine R(x, y) = 0 gdje tangenta nije okomita. U manje tehničkom jeziku, implicitne funkcije postoje i mogu se razlikovati, ako kriva ima nevertikalnu tangentu.

U algebarskoj geometriji

Razmotrite relaciju oblika R(x₁, …, x_n) = 0, gdje je R multivarijabilni polinom. Skup vrijednosti varijabli koje zadovoljavaju ovu relaciju naziva se implicitna kriva ako je n = 2 i implicitna površina ako je n = 3. Implicitne jednačine su osnova algebarska geometrije, čiji su osnovni predmet proučavanja simultana rješenja nekoliko implicitnih jednačina čije su lijeve strane polinomi. Ovi skupovi simultanih rješenja nazivaju se afini algebarski skupovi.

U diferencijalnim jednačinama

Rješenja diferencijalnih jednačina općenito se pojavljuju izražena implicitnom funkcijom.

Primjene u ekonomiji

Marginalna stopa supstitucije

U ekonomiji, kada je postavljen nivo R(x, y) = 0 kriva indiferentnosti za količine x i y konzumiraju dva dobra, apsolutna vrijednost implicitnog derivata dy/dx tumači se kao granična stopa supstitucije dva dobra: koliko više y treba primiti da bi bio ravnodušan prema gubitku jedne jedinice x.

Marginalna stopa tehničke zamjene

Slično, ponekad je skup nivoa R(L, K) izokvanta koji prikazuje različite kombinacije iskorišćenih količina L rada i K fizičkog kapitala od kojih bi svaki rezultirao proizvodnjom iste date količine proizvoda nekog dobra. U ovom slučaju apsolutna vrijednost implicitne derivacije dK/dL tumači se kao granična stopa tehničke zamjene između dva faktora proizvodnje: koliko više kapitala firma mora upotrijebiti da proizvede istu količinu autputa sa jednom jedinicom rada manje.

Optimizacija

Glavni članak: Matematička ekonomija § Matematička optimizacija

Često u ekonomskoj teoriji, neka funkcija kao što je funkcija korisnosti ili funkcija profita treba biti maksimizirana u odnosu na vektor izbora x iako ciljna funkcija nije ograničena ni na jednu specifičnu funkcionalnu formu. Teorema implicitne funkcije garantuje da uvjet prvog reda optimizacije definiraju implicitnu funkciju za svaki element optimalnog vektora x* vektora izbora x. Kada se profit maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija tražnja rada i funkcija ponude različitih dobara. Kada se korisnost maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija ponuda rada i funkcija potražnje za različita dobra. Štaviše, uticaj parameteri problema na x* — parcijalne derivate implicitne funkcije — može se izraziti kao ukupni derivati sistema uslova prvog reda pronađenog pomoću totalne diferencijacije.

Također pogledajte

• Implicitna kriva
• Funkcionalna jednačina
• Nivo postavljeno
  • Linija konture
  • Izopovršina
• Granična stopa zamjene
• Teorema o implicitnoj funkciji
• Logaritmska diferencijacija
• Poligonizator
• Povezane stope

Dopunska literatura

• Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. str. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. str. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. str. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

Vanjski linkovi

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. 3. 5. 2017 – preko YouTube.