Geometrijska sredina

Geometrijska sredina - je statistički pojam koji za neki skup označava n-ti korijen proizvoda svih članova skupa. U matematici, geometrijska sredina (također poznata kao proporcionalna srednja vrijednost) je srednja vrijednost ili prosjek koji ukazuje na centralnu tendenciju konačnog skupa pozitivnih realnih brojeva korištenjem proizvoda njihovih vrijednosti (za razliku od aritmetičke sredine koja koristi njihov zbir).

Matematički; za skup

$x_{1}\ldots x_{n}$. :${\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}$

Kada se skup brojeva i njihova geometrijska sredina prikažu u logaritamskoj skali, geometrijska sredina se transformiše u aritmetičku sredinu, tako da se geometrijska sredina može ekvivalentno izračunati uzimanjem prirodnog logaritma ⁠ln⁠ svakog broja, pronalaženjem aritmetičke sredine logaritama, a zatim vraćanjem rezultata u linearnu skalu korištenjem eksponencijalne funkcije.

Geometrijska sredina je jedna od tri klasične pitagorine sredine, zajedno sa aritmetičkom sredinom i harmonijskom sredinom. Za sve pozitivne skupove podataka koji sadrže barem jedan par nejednakih vrijednosti, harmonijska sredina je uvijek najmanja od tri sredine, dok je aritmetička sredina uvijek najveća od tri, a geometrijska sredina je uvijek između

Primjena

Geometrijska sredina se upotrebljava u analizama vremenskih serija. Korisna je kad god se veličine koje treba uporediti multiplikativno kombiniraju, kao što su stope rasta stanovništva ili kamatne stope finansijske investicije. Pretpostavimo na primjer da osoba investira 1000 dolara i ostvari godišnje prinose od +10%, -12%, +90%, -30% i +25%, što daje konačnu vrijednost od 1609 maraka. Prosječni procentualni rast je geometrijska sredina godišnjih omjera rasta (1,10, 0,88, 1,90, 0,70, 1,25), odnosno 1,0998, što je prosječni godišnji rast od 9,98%. Aritmetička sredina ovih godišnjih prinosa je 16,6% godišnje, što nije značajan prosjek jer se stope rasta ne kombiniraju aditivno.

Primjer

S = (1, 4, 16)

Skup S ima 3 člana čiji proizvod iznosi 64, i geometrijsku sredinu dobijemo izvodeći treći korijen iz ovog proizvoda. Rezultat je broj 4 ( 4*4*4 = 64 ).

Literatura

• Somun-Kapetanović, R., (2008), Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Ekonomski fakultet, Sarajevo