Dirichletovi uvjeti

Razlikovati: Dirichletov granični uslov.

U matematici, Dirichletovi uslovi su dovoljan uslov za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uslovi dobili su naziv po matematičaru Johann Peter Gustav Lejeune Dirichletu.

Uslovi su slijedeći:

• f(x) mora imati konačan broj ekstrema u bilo kojem intervalu
• f(x) mora imati konačan broj prekida u bilo kojem intervalu
• f(x) mora biti apsolutno integrabilna unutar perioda.
• f(x) mora biti ograničena

Dirichletov teorem za jednodimenzionalne Fourierove redove

Iskazali smo Dirichletov teorem pretpostavljajući da je f periodična funkcija sa periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

$f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$,

gdje je

$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.$

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira koji je period funkcije f, ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (Pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletov teorem: Ako f zadovoljava Dirichletove uslove, tada za sve x, imamo da je red, koji je dobijem uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan, te je dat sa

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}={\frac {1}{2}}(f(x+)+f(x-))$,

gdje oznake

$f(x+)=\lim _{y\to x^{+}}f(y)$

$f(x-)=\lim _{y\to x^{-}}f(y)$

predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f.

Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida, ili funkcija mora da osciluje u toj tački, što je u suprotnosti sa uslovom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna,

$\displaystyle f(x+)=f(x-)=f(x)$

tako da je

${\frac {1}{2}}(f(x+)+f(x-))=f(x)$.

Prema tome, Dirichletov teorem kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ukoliko je funkcija f neprekidna.