Interval (matematika)

U matematici intervalom nazivamo skup realnih brojeva, koji se nalaze između dva poznata broja, ta dva broja se nazivaju granice intervala. Npr. interval „(10;20)“ opisuje skup realnih brojeva između 10 i 20, bez tih brojeva. Interval „[10;20]“ označava skup relnih brojeva između 10 i 20, uključujući i 10 i 20.

U apstraktnoj matematici interval je definisan kao podskup S nekog linearno uređenog skupa T, za koji vrijedi, bilo koje x, y ∈ S a x < z < y, te z ∈ S.

Tipovi intervala

Intervali realnih brojeva mogu imati jedan od sljedećih oblika (a, b su realni brojevi, gdje a < b):

1. (a,b) = { x | a < x < b }
2. [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. [a,b) = { x | a ≤ x < b }
4. (a,b]= { x | a < x ≤ b }
5. (a,∞) = { x | a < x }
6. [a,∞) = { x | a ≤ x }
7. (−∞,b) = { x | x < b }
8. (−∞,b> = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R, cijeli skup relnih brojeva
10. {a} u slučaju [a,a]
11. prazan skup u slučaju (a,a), npr. kada je lijeva granica intervala veća nego desna.

Intervali 1., 5., 7., 9. a 11. se zovu otvoreni intervali, intervali 2., 6., 8., 9., 10. a 11. su zatvoreni intervali. Intervali 3. a 4. se nekada nazivaju poluotvoreni ili poluzatvoreni ili s lijeva/ s desna otvoreni/ zatvoreni.

Aritmetika intervala

Matematiku intervala je predstavio M. Warmus, 1956. godine. Ta aritmetika daje definiciju operacijama nad intervalima tako, da

A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z }

Za osnovne računske operacije to znači:

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) − (c,d) = (a−d, b−c)
• (a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd})
• (a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d})

Djeljenje intervalom, koji sadrži nulu nije definisano. Sabiranje i množenje su komutativne, asociativne i poddistributivne operacije (skup X (Y + Z) je podskup XY + XZ).

Vanjski linkovi

• MathWorld