Razlika između verzija stranice "Relacija (matematika)"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Red 53: | Red 53: | ||
Primjer biti paralelan |
Primjer biti paralelan |
||
<math>a\parallel a</math> po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su. |
|||
<math>a \parallel\ b =>\ b\parallel\ a</math> |
|||
a║ b=> b║ a |
|||
<math>a\parallel \ b \land \ b\parallel\ c => \ a\parallel \ c</math> |
|||
a║ b & b║ c => a║ c |
|||
Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi |
Ako je <math>R</math> relacija ekvivalencije na skupu <math>A</math> i <math>a</math> iz <math>A</math> onda skup svih elemenata <math>x</math> iz <math>A</math> za koje vrijedi <math>x\ R\ a</math> zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa <math>a</math> u odnosu na relaciju <math>R</math> i označavamo sa <math>C_a</math> tj |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Neka je data ravan |
Neka je data ravan <math>\alpha</math>, prava <math>a</math> i tačke <math>A,\ B,\ C</math> u toj ravni. Tačke <math>A,\ B,\ C</math> ne leže na pravoj <math>a</math>. Prava <math>a</math> siječe duž <math>AB</math> ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži <math>AB</math>. |
||
== Uređajna relacija == |
== Uređajna relacija == |
Verzija na dan 2 maj 2016 u 07:26
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Neka je zadan skup A={1,2,3}, onda je
AxA={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.
Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).
Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.
Važnije binarne relacije
Refleksivna relacija
Za relaciju kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je za tj ako R sadrži dijagonalu
Antirefleksivnost
Simetrična relacija
Za relaciju kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je onda je i tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali
Tranzitivne relacije
Za relaciju kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je onda je tj
Antisimetrična relacija
Za relaciju kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je onda je tj
Zakon trihitomije
Za binarnu relaciju zadanu na skupu kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi
Relacija ekvivalencije
Relacija ekvivalencije je relacija koja je:
- Refleksivna
- Simetrična
- Tranzitivna
Primjer biti paralelan
po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.
Ako je relacija ekvivalencije na skupu i iz onda skup svih elemenata iz za koje vrijedi zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa u odnosu na relaciju i označavamo sa tj
- Teorema
Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu određuje rastavljanje skupa na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa određuje u relaciju ekvivalencije.
Ako je relacija ekvivalencije u skupu onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju označavamo sa i nazivamo kvocijentni skup skupa modulo .
Neka je data ravan , prava i tačke u toj ravni. Tačke ne leže na pravoj . Prava siječe duž ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži .
Uređajna relacija
Relacija zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S, a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna, tranzitivna i antisimetrična
Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.
Relacija je linearno uređena relacija
& onda je a=b
ako je & onda je i
Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.
Neka je uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je &
Neka je uređajna relacija u skupu S ako su a, b elementi iz S i vrijedi kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi onda je b sljedbenik elementa a sobzirom na relaciju .
Neka je uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.
Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a . onda M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.
Nekaj je uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q. Ako postoji max P zovemo ga infinum od A (oznaka inf A), a ako postoji min Q zovemo supremum oznaka supQ.
Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.