Relacija ekvivalentnosti

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
52 relacije ekvivalentnosti u skupu s 5 elemenata, prikazano kao 5×5 logičkih matrica (obojena polja, uključujući ona u svijetlosivoj boji, predstavljaju jedinice; bijela polja predstavljaju nule.) Indeksi redova i kolona bijelih ćelija su povezani elementi, dok različite boje, osim svijetlo sive, označavaju klase ekvivalencije (svaka svijetlosiva ćelija je svoja klasa ekvivalencije).

U matematici, relacija ekvivalentnosti je binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija "jednak je" je kanonski primjer relacije ekvivalencije, gdje za bilo koje objekte a, b i c važi:

  • a = a (refleksivno svojstvo),
  • ako je a = b onda je b = a (simetrično svojstvo), i
  • ako su a = b i b = c onda je a = c (tranzitivno svojstvo).

Kao posljedica refleksivnih, simetričnih i tranzitivnih svojstava, bilo koja relacija ekvivalencije pruža particiju temeljnog skupa u odvojene klase ekvivalencije. Dva elementa datog skupa jednaki su međusobno ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalencije.

Notacija[uredi | uredi izvor]

U literaturi se koriste različite oznake za označavanje da su dva elementa skupa a i b jednaka u odnosu na relaciju ekvivalencije R; najčešće oznake su "a ~ b" i "ab", koje se koriste kada je R implicitan, a varijacije "a ~R b", "aR b" ili "aRb" da se eksplicitno odredi R. Neekvivalencija se može označiti kao "ab" ili "".

Definicija[uredi | uredi izvor]

Za određenu binarnu relaciju ~ u skupu X kaže se da je to relacija ekvivalencije ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. To jest za sve a, b i c u skupu X:

X zajedno s relacijom ~ naziva se setoid. Klasa ekvivalencije od sa ~, označeno kao , je definirana kao .

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Jednostavan primjer[uredi | uredi izvor]

Neka set ima relaciju ekvivalencije . Onda su sljedeći skupovi klase ekvivalencije ovog odnosa:

.

Skup svih klasa ekvivalencije za ovaj odnos je . Ovaj skup je particija skupa .

Reference[uredi | uredi izvor]

  • (en) Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8ISBN 1-4196-2722-8.
  • (en) Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
  • (en) Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
  • (en) Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
  • (en) John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
  • (en) Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
  • (en) Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.