Kvadratna funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
f(x) = x^2 - x - 2\,\!

U matematici, 'kvadratna funkcija je polinomalna funkcija oblika f(x)=ax^2+bx+c \,\!, gdje je a \ne 0 \,\!. Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

Izraz ax^2+bx+c u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od x broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

Korijeni[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Kvadratna jednačina

Dva korijena kvadratne jednačine 0=ax^2+bx+c\,\!, gdje je a \ne 0 \,\!, su:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

Ova formula naziva se kvadratna formula.

  • Neka je \Delta = b^2-4ac \,
  • Ako je \Delta > 0\,\!, tada postoje dva različita korijena, pošto je \sqrt{\Delta} pozitivan realna broj.
  • Ako je \Delta = 0\,\!, tada su dva korijena jednaka, pošto je \sqrt{\Delta} nula.
  • Ako je \Delta < 0\,\!, tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je \sqrt{\Delta} imaginarno.

Ako imamo da je  r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} i  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} (ili obrnuto),  a x^2 + b x + c \,\! se može napisati kao  a(x - r_1)(x - r_2)\,\!.

Grafik[uredi | uredi izvor]

f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!

Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

  • Ako je a > 0 \,\!, parabola je otvorena prema gore.
  • Ako je a < 0 \,\!, parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je smrmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

Presjek sa x–osom[uredi | uredi izvor]

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

Tjeme[uredi | uredi izvor]

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je (h, k)\,\!. Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: f(x) = a x^2 + b x + c \,\! pretvoirti u

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!

srednja vrijednost dva korijena

\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!

je x-koordinata tjemena, te je tjeme

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je a < 0 \,\! ili tačka minumuma, ako je a > 0 \,\!.

Vertikalna linija

 x=h=-\frac{b}{2a}

koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

  • Tačke maksimuma i minimuma
Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.
Ako imamo funkciju f(x) = ax^2 + bx + c \,\! koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od a \,\!, ako je a > 0 \,\!, onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b \,\!
Tada, tražimo korijene od f'(x)\,\!:
2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}
Dakle, -\frac{b} {2a} je x\,\! vrijednost od f(x)\,\!. Sada, da bi našli y\,\! vrijednost, zamijenimo x = -\frac{b} {2a} u f(x)\,\!:
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:
 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]