Parabola (matematika)

Parabola

Parabola je vrsta konusnog presjeka, kriva drugog stepena. Parabola je skup takvih tačaka u ravni, koje su jednako udaljene od prave (tzv. direktrisa) od date tačke, koja leži na toj pravoj (tzv. fokus).

Osobine

Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid.

Za parabolu kažemo , da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom $x$ ili $y$.

Parabola se može definisati kao konusni presjek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole slične. Parabolu možemo shvatiti kao granicu niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.

Matematički zapisi

Implicitni zapis

$\| XF \| = \| Xd \| \,\!$

Skup svih tačaka X u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa F i od direktrise d, koja ne prolazi fokusom F.

Descartesov koordinatni sistem

Standardni opis parabole:

V[m, n] – vrh parabole sa koordinatama m, n
F – fokus parabole
d – direktrisa
o – osa parabole
|DF| = p – veličina parametra, $p > 0 \,\!$
$|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!$
X[x, y] – proizvoljna tačka koja pripada paraboli

Kanonski oblik jednačine

Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom $x$ te za vrh parabole $V=[x_0,y_0]$) vrijedi

${(y-y_0)}^2 = 2p(x-x_0)$

Za $p>0$ parabola je otvorena desno a za $p<0$ parabola je otvorena lijevo. Za $x_0=0, y_0=0$ dobija se parabola s vrhom koordinatnom početku.

Fokus, tako zadane parabole, ima koordinate

$\left[x_0+\frac{p}{2},y_0\right]$

a direktrisa je opisana jednačinom

$x=x_0-\frac{p}{2}$

Kanonski oblik jednačine parabole s osom u osi $y$ i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao

$x^2 = 2py$

Za $p>0$ parabola je otvorena prema gore a za $p<0$ otvorena je prema dole.

Jednačina konusnog presjeka

Ako u jednačini konusnog presjeka uvrstimo $a_{11}=a_{12}=0$ i $a_{13}a_{22}\neq 0$, dobijemo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom $x$), koja ima disektrisu

$x = \frac{a_{23}^2+a_{13}^2-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}$

fokus ima koordinate

$F = \left[\frac{a_{23}^2-a_{13}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]$

a koordinate vrha su

$V = \left[\frac{a_{23}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]$

Parametar ima vrijednost

$|p| = \left|\frac{a_{13}}{a_{22}}\right|$

Slično u slučaju $a_{12}=a_{22}=0$ i $a_{11}a_{23}\neq 0$ dobijamo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom $y$). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobijamo

$y = \frac{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}$

$F = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{23}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]$

$V = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]$

$|p| = \left|\frac{a_{23}}{a_{11}}\right|$

Parabolu iz općeg do normalnog položaja se može prevesti rotacijom koordinatnog sistema o ugao $\alpha$ danim izrazom

$\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$

Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj

• Osa parabole $o$ je paralelna s osom $x$ imajući minimum(tačka V) na osi $x$.

Tjemena jednačina:

$(y - n)^2 = 2p(x - m) \,\!$

Parametarska jednačina:

$x = {p\over 2}t^2 + m \,\!$

$y = pt + n \,\!$

Opća jednačina:

$y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0 \,\!$

Jednačina direktrise:

$x = m - {p\over 2} \,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_0, y_0]$:

$(y - n)(y_0 - n) = p(x + x_0 - 2m) \,\!$

Osa parabole $o$ je paralelna s osoom $x$ imajući maximum(tačka V) na osi $x$.

Tjemena jednačina:

$(y - n)^2 = -2p(x - m) \,\!$

Parametarska jednačina:

$x = -{p\over 2}t^2 + m \,\!$

$y = -pt + n \,\!$

Opća jednačina:

$y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0$

Jenačina direktrise:

$x = m + {p\over 2} \,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_0, y_0]$:

$(y - n)(y_0 - n) = -p(x + x_0 - 2m) \,\!$

• Osa parabole $o$ je paralelna s osom $y$ imajući minimum. Konveksna parabola.

Tjemena jednačina:

$(x - m)^2 = 2p(y - n) \,\!$

Parametarska jednačina:

$x = pt + m \,\!$

$y = {p\over 2}t^2 + n \,\!$

Opća jednačina:

$x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0$

Jednačina direktrise:

$y = n - {p\over 2} \,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_0, y_0]$:

$(x - m)(x_0 - m) = p(y + y_0 - 2n) \,\!$

• Osa parabole $o$ je paralelna s osom $y$ imajući maksimum. Konkavna parabola.

Tjemena jednačina:

$(x - m)^2 = -2p(y - n) \,\!$

Parametarska jednačina:

$x = -pt + m \,\!$

$y = -{p\over 2}t^2 + n \,\!$

Opća jednačina:

$x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0$

Jednačina direktrise:

$y = n + {p\over 2} \,\!$

Jednačina tangente u tački $T[x_0, y_0]$:

$(x - m)(x_0 - m) = -p(y + y_0 - 2n) \,\!$

Uzajamni odnos parabole i prave

Rješimo sistem jednačina parabole i prave. Ukoliko dobijemo linearnu jednačinu, koja ima rješenja - prava sječe parabolu u jednoj tački. Ukoliko linearna jednačina nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze. Ukoliko dobijemo kvadratnu jednačinu i diskriminanta $D$ je:

• D > 0 dva rješenja - prava sječe parabolu u dvije tačke
• D = 0 jedno rješenje - prava je paraboli tangenta
• D < 0 nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze

Polarni koordinatni sistem

Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:

$r (1 - \cos \varphi) = p \,$

gdje $p>0$ je parameter parabole.

Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima također značenje polovine dužine tzv. latus rectum, tako da je i tetiva konusnog presjeka okomita na glavnu osu u fokusu $F$. Kod parabole se ta vrijednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.

Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom karadiode.

Parabola u relnom svijetu

Trajektorije tijela koja se kreću u homogenom gravitacijskom polju je parabola. Po paraboli se također kreću tijela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova brzina tačno jednaka drugoj kosmičkoj brzini a smjer im se poklapa sa smjerom tog polja. Npr. put, po kojem se kreću neke kometi, su veoma slične paraboli.

Ako se zraka koja prilazi paraboli (ili paraboloidu) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolazit će fokusom. To je razlog, zašto se proizvode parabolička ogledala i antene (npr. kod automobila, dvogleda, telekomunikacijskih satelita i sl.).

Također pogledajte

• Kružnica
• Hiperbola
• Konusni presjek
• Elipsa

Vanjski linkovi

• Parabola u enciklopediji MathWorld (engleski)