Dirichletovi uvjeti

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Dirichletovi uslovi)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Dirichletovi uvjeti su dovoljan uvjet za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uvjeti dobili su naziv po matematičaru Johannu Peteru Dirichletu.

Uvjeti su sljedeći:

Dirichletova teorema za jednodimenzionalne Fourierove redove[uredi | uredi izvor]

Iskazali smo Dirichletovu teoremu pretpostavljajući da je f periodična funkcija s periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

,

gdje je

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira na to koji je period funkcije f ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletova teorema: Ako f zadovoljava Dirichletove uvjete, tada za sve x imamo da je red, koji je dobijen uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan te je dat sa
,
gdje oznake
predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f.


Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida ili funkcija mora oscilirati u toj tački, što je u suprotnosti s uvjetom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna,

tako da je

.

Prema tome, Dirichletova teorema kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ako je funkcija f neprekidna.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.