Epicikloida

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Epicikloida (od grč. ὲπί -na, nad i grč. κυκλος-krug ) je kriva, koja se dobija kada se jedna kružnica kotrlja po drugoj kružnici sa centrom u ishodištu. Tada proizvoljna tačka pokretne kružnice opisuje epicikloidu.

Jednačina[uredi | uredi izvor]

Izvedimo jednačine epicikloide. U centar stalnog kruga poluprečnika postavimo pravougli Dekartov koordinatni sistem. Tačka pokretnog kruga K poluprečnika u početku obrtanja imala je početni položaj A na osi . Pošto kod ovog kretanja nema klizanja, lukovi i su jednaki i zato je

pri ćemu je ugao između duži koja spaja centre krugova i poluprečnika kružnice . (dva poluprečnika pokretnog kruga: poluprečnika dodirne tačke i poluprečnika tačke , koja opisuje epicikloidu.) EpitrochoidOn3-generation.gif

Iz

i

dobijamo

odnosno

Slično se dobija za

Među uglovima i važi

Ugao izrazimo preko i dobićemo parametarske jednačine epicikloide:

Jednim svodom epicikloide podrazumjevamo dio krive koju posmatrana tačka opisuje sa jednim obrtajem kruga oko kruga .

Ako je odnos poluprečnika kružnice racionalan broj, tada je kriva zatvorena i ima k šiljaka.

U slučaju da je k racionalan broj jednak p/q tada epicikloida ima p šiljaka.

U slučaju da je k iracionalan broj kriva se nikada ne zatvara, pa se dobija beskonačan broj šiljaka. Epiciklioida sa jednim šiljkom naziva se kardioida.

Ako je odnos cio broj , možemo pričati o dužini luka i površini epicikloide. Pod dužinom luka epicikloide podrazumjevamo dužinu svodova . Površina epicikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima epicikloide.

Teorema 1[uredi | uredi izvor]

Dužina luka epicikloide je , gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po spoljasšnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i je broj svodova epicikloide.

Dokaz

Dužinu luka krive računamo po formuli

Dužina luka jednog svoda epicikloide

Teorema 2[uredi | uredi izvor]

Površina epicikloide je ), gdje je b poluprecnik kruga koji se kreće po spoljašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i je broj svodova epicikloide.

.

Najpoznatije epicikloide[uredi | uredi izvor]

Najpoznatija od svih epicikloida je kardioida koja se dobija u slučaju .

Njene parametarske jednačine su:

Površina kardioide je

Dužina luka je


Za , dobijamo nefroidu, sa parametarskim jednačinama:

Površina nefroide je

Dužina luka je

Jos su stari Grci primjetili da ako se paralelni snop svjetlosti odbija od ogledala intenzitet odbijene svjetlosti se pojacava duž neke krive, takozvane kaustike. Kod parabolickog ogledala to je kao sto znamo jedna tačka - fokus. Kod sfernog ogledala kaustika je upravo nefroida. Iako je termin nefroida korišten za opisivanje drugih krivi, u ovom našem slucaju Proktor je ove krive nazvao nefroidama 1878. godine Za dobijamo ranunkuloidu

Parametarske jednačine su

Površina

Duzžna luka


Za . Krug poluprečnika b tri puta treba da obiđe krug poluprečnika a da bi se kriva zatvorila.

Za dobijamo prsten poslije 12 obrtaja.

Još neke epicikloide

Izvor[uredi | uredi izvor]

Novi pristupi metričkim aspektimacikloide i njoj srodnih krivih