Kubna jednačina

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Posmatrajmo polinom trećeg stepena
za
koja siječe x-osu u tačkama koje su nule odgovarajuće jednačine trećeg stepena (kubne jednačine).

Vieteove formule[uredi | uredi izvor]

Rješenja jednačine zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula
[1]


Primjer

i ima nule, rješenja

U jednačini
smjenom
postaje

za

i

Diskriminanta kubne jednačine[uredi | uredi izvor]

Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta [2]
pripadnog polinoma : gdje su korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi
Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.
I izraz
je diskriminanta

Osobine rješenja jednačine[uredi | uredi izvor]

Za ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja
Za ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje
Za ima sva tri realna i različita rješenja
Primjer

Jednačina

smjenom
postaje
Jednačina
smjenom

postaje

Ovdje smo nepoznatu zamjenili sa 2 nove i .

uvodimo novi uslov

pa je
Iz
dobijamo
Sistem
ekvivlentan je sa
Iz kojeg dobijamo
za
Njenim rješavanjem dobijamo
Vračanjem druge smjene dobijamo
IZ
pa je
tj. jedno rješenje jednačine je
Parovi (u,v) su rješenja sistema
Iz jednačina
slijedi
,
,
,
,
gdje su treči korjeni jedinice

Odnosno sva rješenja jednačine

data su formulom
,
,
koje se također nazivaju Kardanove formule.
U našem slučaju (za ) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj ) nazivamo nesvodljiv slučaj.
Za i imamo
pa je i imamo 2 slučaja
,
Iz ovoga je
=>
=>
pa je rješenje polaznog primjera

Opća rješenja[uredi | uredi izvor]

Opće rješenje za svaku kubnu jednačinu

je

Izvor[uredi | uredi izvor]

Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Vietove formule
  2. ^ Diskriminanta kubne jednačine