1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
poslije izravnanja

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, može se pisati i kao 
\sum_{n=1}^{\infin} n^0
, \sum_{n=1}^{\infin} 1^n, ili \sum_{n=1}^{\infin} 1, je divergentni red.To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz 1^n može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom 1. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1), ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za s = 0

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\, =\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\,,

Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je -1/2

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!,

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je \Gamma(1) = 1),

\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) =

\frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left( -\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac{1}{2} \![1]

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −12.

Može se reći da je

    \sum_{n=1}^{m} n^0 = m

Lako se dokazuje matematičkom indukcijom.

\sum_{n=1}^{1} n^0 = 1^0 = 1

\sum_{n=1}^{2} n^0 = 1^0 + 2^0 = 1 + 1 =2

\sum_{n=1}^{3} n^0 = 1^0 + 2^0 + 3^0 = 1 + 1 + 1 =3

    \sum_{n=1}^{4} n^0 = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 = 1 + 1 + 1 + 1 =4

    \frac{n^m}{n^m} = n^{m-m} = n^0 = 1 Tvrdnja ne važi za n=0 jer 0^0 nema smisla

U Dekartovom koordinantnom sistemu[uredi | uredi izvor]

Dekartov koordinantni sistem

U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija \ f(x) = \sum_{n=1}^{x} n^0 sadrži iste tačke kao funkcija \ f(x) = x

Za \ x > 0

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 predstavlja linije u I kvadrantu za :\ k \geq 0

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 predstavlja linije u IV kvadrantu za \ k \leq 0 .

Za x < 0:

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 predstavlja linije u II kvadrantu \ k \geq 0 .

Funkcija \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 predstavlja linije u III kvadrantu za \ k \leq 0 .

Demonstracija zbira[uredi | uredi izvor]

Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n

\sum_{n=1}^{m} n^0 = m

\sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2}

\sum_{n=0}^{m-1} n = \frac{m(m-1)}{2}

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \frac{m(m+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac m 2(m+1-m+1) =\frac m 2 (2) = m


 \frac{m(m+1)}{2} = \binom{m+1} {2} što je trouglasti broj koji je otkrio Gauus

Formule[uredi | uredi izvor]

Razlika između zbirova[uredi | uredi izvor]

    \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n

Za \ m = 1 , 2

\ m = 1

\sum_{n=1}^{1} n - \sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n koji odgovara

\sum_{n=1}^{1} 1 - \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 = 1 - 1 = 0 što znači \ 0 = 0

\ m = 2

\sum_{n=1}^{2} n - \sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n koji odgovara

\sum_{n=1}^{2} 1 + 2 - \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=0}^{1} 1 = 3 - 2 = 1 što znači \ 1 = 1

Formule koje se odnose na razliku[uredi | uredi izvor]

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n

možemo dobiti slične

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n - \sum_{n=-1}^{m-2} n

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-1}^{m-2} n - \sum_{n=-2}^{m-3} n

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-2}^{m-3} n - \sum_{n=-3}^{m-4} n

za \ m = 1 , 2:


\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n - \sum_{n=-1}^{-1} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 - \sum_{n=-1}^{-1} -1 što znači \ 1 = 0 + 1 odnosno \ 1 = 1 .

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n - \sum_{n=-1}^{0} n = \sum_{n=1}^{1} 2 = \sum_{n=0}^{2} 1 - \sum_{n=-1}^{0} -1 što znači \ 2 = 1 + 1 odnosno \ 2 = 2

\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-1}^{-1} n - \sum_{n=-2}^{-2} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-1}^{-1} -1 - \sum_{n=-2}^{-2} -2 što znači \ 1 = -1 + 2 odnosno \ 1 = 1 .


    \sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-1}^{0} n - \sum_{n=-2}^{-1} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-1}^{0} -1 - \sum_{n=-2}^{-1} -3 što znači \ 2 = -1 + 3 odnosno \ 2 = 2 .

\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-2}^{-2} n - \sum_{n=-3}^{-3} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-2}^{-2} -2 - \sum_{n=-3}^{-3} -3 što znači \ 1 = -2 + 3 odnosno \ 1 = 1


\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-2}^{-1} n - \sum_{n=-3}^{-2} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-2}^{-1} -3 - \sum_{n=-3}^{-2} -5 što znači \ 2 = -3 + 5 odnosno a \ 2 = 2

Opšta formula koja se odnosi na razliku[uredi | uredi izvor]


    \sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-k+1}^{m-k} n - \sum_{n=-k}^{m-(k+1)} n

\ k = 0 , 1 , 2 , 3 , ... na skupu \mathbb{N}.

Formule koje se odnose na proizvod[uredi | uredi izvor]

    \sum_{n=1}^{m+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = 1

    \sum_{n=1}^{m+1} n^0 = m+1 e \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = \frac {1}{m + 1}

kad pomnožimo dobijemo \ m+1 \cdot \frac {1}{m + 1} = 1

\sum_{m=1}^s(\sum_{n=1}^{s+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{s} (\frac{p}{p + 1})) = \sum_{n=1}^{s} n^0

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Izvor[uredi | uredi izvor]



Lebesgue Icon.svgOvaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.