1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Prvih 6 trokutnih brojeva

Suma svih prirodnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, može se pisati i kao

\sum_{n=1}^{\infin} n^1,

je divergentan red; suma prvih n članova može se pronaći koristeći se formulom \frac{n(n+1)}{2}.

Iako na prvi pogleda red nema neku značajnu vrijednost, može se manipulacijom ovog reda doći mnoštva matematički interesantnih rezultata, koji, čak, imaju primjenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza i kvantna terija polja.

Dokaz formule za parcijalnu sumu[uredi | uredi izvor]

Dokaz da je sum prirodnih brojeva do n \frac{n(n+1)}{2} može se dokazati na mnoštvo načina. Najprije, neka je

S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,

Članovi se mogu pregrupisati i napisati od zadnjeg pa do prvog:

S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,

Ako saberemo ova dva, član po član, dobijamo:

2S_n = \underbrace{(n+1) + ((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots+(3+(n-2))+(2+(n-1)) + (1+n)}_{n}
2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n}
2S_n = n\cdot(n + 1)
S_n = \frac{n(n+1)}{2}

Sumiranje i analitičko produženje zeta funkcije[uredi | uredi izvor]

Ramanujanova suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · iznosi −112.[1]

Kada je realni dio od s veći od 1, Riemannova zeta-funkcija od s jednaka je sumi \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}. Ova suma divergira kada je realni dio od s manji od 1, ali kada je s = −1 tada analitičko produženje od ζ(s) daje ζ(−1) kao −112.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Hardy p.333

Dalje čitanje[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]