Egzaktna diferencijalna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R2 i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika

naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

and

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju , egzaktni ili totalni diferencijal po je dat kao

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Funkcija

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

Postojanje funkcija potencijala[uredi | uredi izvor]

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2, tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je

Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina[uredi | uredi izvor]

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2 sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

Za problem početne vrijednosti

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

Rješavajući

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]