Hipocikloida

Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.

• 

Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice $K_{0}$ poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica $K$ poluprecnika b, $b<a$.

Neka je koordinatni početak u centru kružnice $K_{0}$.

Kružnicu $K$ ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu $K_{0}$ sa unutrašnje strane u tački $Q$ presjeka sa x osom.

Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka $Q$ kada se kružnica $K$ ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je $Q$ poslije vremena t ta tačka prešla u tačku $M(x,y$).

Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina $a\theta$ luka kružnice $K$ jednaka dužini luka kružnice $K_{0}$.

Odnosno

$a\theta =a(\theta +\varphi )$

Ako se kružnica $K$ ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.

$a\theta =kt$

pri ćemu je k brzina kotrljanja.

Dakle, ako uzmemo da se kružnica $K$ kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo

$\theta =t$

pa se ugao $\theta$ može tretirati kao vrijeme.

Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su:

$((a-b)cos\theta ,(a-b)sin\theta )$

Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :

$u=bcos(2\pi -\varphi )=bcos\varphi$

$v=bsin(2\pi -\varphi )=-bsin\varphi$

Iz

$a\theta =a(\theta +\varphi )$

dobijamo

$x=(a-b)cos\theta +bcos({\frac {a-b}{b}}\theta )$

$y=(a-b)sin\theta -bsin({\frac {a-b}{b}}\theta )$

Neka je $a:b$ cio broj, odnosno $a:b=s$, možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.

Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.

Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .

Teorema 1

Duzina luka hipocikloide je $8b(s-1)$, gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i

$s=a:b$

je broj svodova hipocikloide.

Dokaz

Dužina luka krive je

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {{x^{,}}^{2}(\theta )+{y^{,}}^{2}(\theta )}}d(\theta )$

$x^{,}=-(a-b)sin\theta -(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )=-(a-b)(sin\theta +sin({\frac {a-b}{b}}\theta ))$

$y^{,}=(a-b)cos\theta -(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )=(a-b)(cos\theta -cos({\frac {a-b}{b}}\theta ))$

${x^{,}}^{2}=(a-b)^{2}(sin^{2}\theta +2sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )+sin^{2}({\frac {a-b}{b}}\theta ))$

${y^{,}}^{2}=(a-b)^{2}(cos^{2}\theta -2cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )+cos^{2}({\frac {a-b}{b}}\theta ))$

${x^{,}}^{2}+{y^{,}}^{2}=(a-b)^{2}[2+2[sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )-cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]=$

$2(a-b)^{2}(1-cos(\theta +{\frac {a-b}{b}}\theta ))=4(a-b)^{2}{\frac {1}{2}}(1-cos({\frac {a}{b}}\theta )=$

$4(a-b)^{2}sin^{2}({\frac {a\theta }{2b}})$

Na osnovu ovoga dobijamo da je dužina luka jednog svoda hipocikloide:

$L^{,}=\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{\sqrt {{x^{,}}^{2}(\theta )+{y^{,}}^{2}(\theta )}}d(\theta )=$

$2(a-b)\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{sin({\frac {a\theta }{2b}})}\ d(\theta )$

${\frac {4b(a-b)}{a}}(1-(-1))={\frac {8b(a-b)}{a}}$

$L_{h}=s{L^{,}}_{h}={\frac {a}{b}}*{\frac {8b(a-b)}{a}}=8(a-b)=8b(s-1)$

Teorema 2

Površina hipocikloide je

$\pi b^{2}(s-1)(s-2)$

gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti stalnog kruga poluprečnika a i $s={\frac {a}{b}}$ je broj svodova hipocikloide.

Dokaz

Koristićemo Grinovu teoremu

$xy^{,}-yx^{,}=[(a-b)cos\theta +(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )][(a-b)cos\theta -(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]-$

$[(a-b)sin\theta -(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )][(a-b)sin\theta +(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )]=$

$((a-b)^{2}-b(a-b))[1+sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )-cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]=$

$((a-b)^{2}-b(a-b))[1-sin(\theta +{\frac {a-b}{b}}\theta )]$

$P=\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{xy^{,}-yx^{,})}\,d(\theta )=(a^{2}-3ab+2b^{2})\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{sin^{2}({\frac {a\theta }{2b}})}\,d(\theta )=$

$(a^{2}-3ab+2b^{2}){\frac {2b}{a}}[{\frac {1}{2}}{\frac {d\theta }{2b}}--{\frac {1}{4}}sin({\frac {a\theta }{2b}}]=$

$\pi b{\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{a}}=\pi {\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{s}}$

Iz $s={\frac {a}{b}}$ proizlazi

$P=sP_{h}=s\pi {\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{s}}=\pi (a^{2}-3ab+2b^{2})=\pi b^{2}(s-1)(s-2)$

Specijalni slučajevi hipocikloide

Dijametar

U slučaju kada je $a=2;b;=1s=2$

jednačine hipocikloide (dijametra) su $x=2bcos\theta$

$y=0$

Tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku kružnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti kružno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.

Dužina luka te hipocikloide je $8b$

Deltoida

Za $a=3;b=1;s=3$ dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu krivu).

• 
  deltoida

Njene jednačine su

$x=2bcos\theta +bcos2\theta$

$y=2bsin\theta -bsin2\theta$

Deltoida ima zanimljivu osobinu da odsječci njenih tangenti unutar krive imaju konstantnu dužinu tj. jedan stap te dužine bi se mogao rotirati unutar nje stalno je dodirujući.

Deltoida ima površinu $P=2\pi b^{2}$

Dužina luka je $L=16b$

Astroida

Za $a=4;b=1;s=4$ dobijamo astroidu, sa parametarskim jednačinama:

$x=3bcos\theta +bcos3\theta =acos^{3}\theta$

$y=3bsin\theta -bsin3\theta =asin^{3}\theta$

• 

Porijeklo imena astroida može se naći u grčkoj riječi (asteri) čije je značenje zvijezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.

Površina astroide je

$P=6\pi b^{2}$

Dužina luka je

$L=24b.$

Za $a=21,b=0,s=2,1$ dobijamo hipocikloidu

• 

Mali krug poluprečnika b 10 puta treba da obiđe veliki krug poluprečnika a da bi fiksna tačka došla u početni položaj, tj da bi hipocikloida bila zatvorena.

Za $a=\pi ;b=1;s=\pi$

Kako je odnos prečnika iracionalan, hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug

do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.

Teorema dvostruke generacije

1725. god. Daniel Bernuli je otkrio osobinu hipocikloide poznatu kao teorema dvostruke generacije.

Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug $a-b$ poluprečnika krečući se unutar istog kruga.

Ako označimo prvu hipocikloidu sa ${\mathit {H}}(a,b)$ a drugu sa ${\mathit {H}}\left(a,a-b\right)$

na osnovu teoreme dobijamo da je

${\mathit {H}}(a,b)={\mathit {H}}\left(a,a-b\right)$

Ova dva unutrašnja kruga su komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.

$x=(a-b)cos\theta +bcos({\frac {a-b}{b}}\theta )$

$y=(a-b)sin\theta -bsin({\frac {a-b}{b}}\theta )$

Zamjenom

$b^{,}=a-b$

$\varphi ={\frac {a-b}{b}}\theta$ odnosno

$\theta ={\frac {a\varphi }{a-b}}={\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi$

imamo

$x=b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )+(a-b^{,})cos\varphi$

$y=b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )-(a-b^{,})sin\varphi$

zamjenom redoslijeda sabiraka dobijamo

$x=(a-b^{,})cos\varphi +b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )$

$y=-(a-b^{,})sin\varphi +b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )$

Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete

$cos(-\varphi )=cos\varphi$

$sin(-\varphi )=-sin\varphi$

i parametra $\varphi$ sa $\omega$ dobićemo parametarske jednačine hipocikloide

${\mathit {H}}\left(a,a-b\right)$, koje su potpuno identicne sa pocetnim jednacinama:

$x=(a-b^{,})cos\omega +b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\omega )$

$y=-(a-b^{,})sin\omega +b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\omega )$

Posljedica ove teoreme je

Istu astroidu možemo dobiti i rotacijom kruga poluprečnika ${\frac {3a}{4}}$

i rotiracijom kruga poluprečnika ${\frac {a}{4}}$ unutar fiksiranog kruga poluprečnika a.

Površina hipocikloide

Površina hipocikloide je

$\pi b^{2}(s-1)(s-2)$ (b je poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i $s=a:b$ je broj svodova hipocikloide, odnosno

$P_{h}=K(s-1)(s-2)$

K je površina kotrljajuće kružnice. Pomoću hipociklogona možemo dobiti formule, čije su granične vrijednosti ekvivalentni sa ovim rezultatima.

Neka je hipociklogon generisan sa pravilnim petnaestouglim i kotrljajućim petouglom. Površinu hipociklogona možemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvućemo m/n puta površinu koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom hipociklogona. Površina se sastoji od :$n-2$ trouglova, koji zajedno daju površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa M ), i $n-1$ kružnih isječaka.

${A_{h}}^{q}=M+{\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}\varphi {r_{k}}^{2}$

${\frac {1}{2}}\varphi {r_{k}}^{2}$ je površina k-tog kružnog isječka, a

$r_{k}$ za $k=1,2,...,n$ dužine koje spajaju jedno tjeme n-ugla sa ostalim $n-1$ tjemenima

Kako je ugao kružnog isječka jednak ${\frac {2\pi }{n}}$, moramo ga smanjiti za spoljašnji ugao m-ugla, tj.

$\varphi ={\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}}$

${A_{h}}^{q}=M+{\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}}){r_{k}}^{2}=M+{\frac {1}{2}}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}})\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}{r_{k}}^{2}=$

$M+{\frac {1}{2}}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}})2nR^{2}=M+2R^{2}\pi (1-{\frac {n}{m}})$

gde je R poluprečnik opisane kružnice kotrljajučeg pravilnog n-ugla.

Posmatrajmo niz hipociklogona generisanih sa n-uglom koji se kotrlja unutar m-ugla upisan u krug poluprečnika a, tako da se odnos broja stranica $v=m:n$ pravilnih mnogouglova ne mijenja. Označimo ga sa $H^{q}(n,m)$.

Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla .

n-ti član generiše pravilan $(n+2)$ -ugao koji se kotrlja oko ($(n+2)$v-ugla .

Niz ciklogona je

$H^{q}(3,3v)$, $H^{q}(4,4v)$, $H^{q}(5,5v)$, ...., $H^{q}(n,m)$

Stranice n-ugla i m-ugla su jednake dužine pa za svaki član niza vazži da je obim nepokretnog mnogougla v puta veća od kotrljajučeg.

U graničnom slučaju $n\to \infty \Rightarrow m\to \infty$ zbog $m=vn$. To znači da smo dobili dvije kruznice, takve da je obim prve kružnice v puta manji od obima druge kružnice, tj i poluprečnici imaju odnos $v=m:n$. Sto možemo napisati ovako:

${\frac {m}{n}}={\frac {a}{b}}$

gdje je a poluprečnik kružnice $K_{0}$ opisane oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kružnice :$K$ oko pravilnog n-ugla

$A_{h}=\textstyle \lim _{n\to \infty }[M+2K(1-{\frac {n}{m}})])=K(3-2{\frac {m}{n}})$

$s=m:n$

$P_{h}=a^{2}\pi -aA_{h}=s^{2}K-sK(3-{\frac {2}{s}})=K(s^{2}-3s+2)=K(s-1)(s-2)$

Reference

• Novi pristupi metričkim aspektima cikloide i njoj srodnih krivih