Leibnizova formula za determinante

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi Sn, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

što je poznatije fizičarima.

Formalni iskaz i dokaz[uredi | uredi izvor]

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je .

Dokaz

Jedinstvenost: Neka bude funkcija, i neka bude matrica dimenzije . Reći ćemo da je -ta kolona matrice , to jest , takvo da je

Također, neka označava -tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki član kao , to jest

.

Pošto je multilinearno, imamo da je

Iz alternacije, slijedi da ako je , tada imamo

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih -tostrukosti , i pošto implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

Pošto je F alternativno, kolone se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

gdje treba da bude jednako .

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa .

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

Alternativnost:

Sad neka bude mnogostrukost jednaka sa zamijenjenim indeksima i . Slijedi iz definicije funkcije da je .

Konačno, :

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s , su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

sa ove tri osobine.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).