Rješavanje trougla

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremi[uredi | uredi izvor]

Kosinusna teorema

Sinusna teorema

Zbir uglova trougla

Tangensni teorem

Oštrougli trougao[uredi | uredi izvor]

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:[1][2]

  1. date su tri strane (SSS);
  2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
  3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
  4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trougla[uredi | uredi izvor]

Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.[3]

Resolve triangle with a b gamma.png

I način

Kosinusna teorema daje ugao A, jer je

Sinusna teorema daje ugao , jer je

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva .

II način

Iz poluobima i tangensne teoreme imaćemo

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. .

Date su 2 stranice i ugaoizmeđu njih[uredi | uredi izvor]

Date su 2 stranice trougla i ugao . Naći stranicu с i uglove , .[4]

Resolve triangle with b c beta.png

Kosinusna teorema daje stranicu

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova slijedi da je ugao oštar, pa prema tome prvo tražimo

tj ugao pa ugao koji je suplementan uglovima , , tj. .

Jednistveno rješenje je ako je .

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj[uredi | uredi izvor]

Resolve triangle with c alpha beta.png

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha. [5]

Prvo nalazimo ugao .

Sinusna teorema daje: }.

Za je pa je

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao oštar nezavisno od toga kakav je ugao .

Kada je tada je . Trougao je pravougli, ili, ako je , postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

tj. , nema rješenja.

Kada je tada je i . Postoji jedinstveno rešenje.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ "Solving Triangles". Maths is Fun. Pristupljeno 4 April 2012. 
  2. ^ "Solving Triangles". web.horacemann.org. Pristupljeno 4 April 2012. 
  3. ^ Solving SSS Triangles/Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.
  4. ^ Solving SAS Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.
  5. ^ Solving ASA Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.