Rođendanski paradoks

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Grafik prikazuje funkciju porasta vjerovatnoće da bar dvije osobe imaju isti rođendan, u odnosu na broj odabranog uzorka osoba.
x-osa - Broj osoba;
y-osa - Vjerovatnoća;

Rođendanski paradoks često nazvan i rođendanski problem je primjer pogrešne procjene u vjerovatnoći, u kojem se intuitivno dolazi do pogrešnog zaključka. Razlozi pogrešne procjene, objašnavaju se sklonošću ljudskog načina razmišljanja i prihvaćanja linearne funkcije, te nesposobnosti poimanja eksponencijalne funkcije.

Ukoliko se u jednoj prostoriji nalaze najmanje 23 osobe, vjerovatnoća da dvije ili više osoba (bez obzira na godinu rođenja) imaju na isti dan rođendan, je veća od 50%

– Richard von Mises, [1]

Do pogrešne procjene u rođendanskom paradoksu dolazi, jer je postavljeno pitanje, kolika je vjerovatnoća, da dvije neovisno odabrane osobe iz jedne grupe imaju isti proizvoljno odabrani rođendan. Često se ovo pitanje tumači, kao - sa kolikom vjerovatnoćom se može tvrditi da jedna određena osoba iz jedne grupe ima na jedan određeni dan rođendan (npr. u odnosu na rođendan neke druge osobe), te je ta vjerovatnoća u stvarnosti mnogo niža.

Paradoks se često pripisuje Richard von Mises, a po Donaldu E. Knuthu ovaj izvor nije siguran: Ovaj se paradoks u matematici pojavljuje 1930-ih godina, ali inicijator paradoksa nije poznat.[2]

Objašnjenje[uredi | uredi izvor]

Pitanje: Kolika je vjerovatnoća da od 23 osobe najmanje dvije osobe imaju rođendan u isti dan?
Odgovor: Odgovor je obično iznenađujući i vodi ka paradoksu. Većina ljudi procjenjuje vjerovatnoću za deset potencija niže nego što je ustvari. Odgovori se kreću između 1 % und 5 %, dok je prava vjerovatnoća preko 50 %, a kod 50 osoba čak iznad 97 %.

Za razliku od ovog primjera, vjerovatnoća da neko ima rođendan na neki određeni dan (bez obzira na godinu rođenja), a u usporedbi sa primjerom od 23 osobe, rođendan jedne od tih osoba, je mnogo niža. Da bi vjerovatnoća bila u istom opsegu, računato po binomskoj raspodjeli potrebno je još 231 osoba (ukupno 254).

Teoretski pristup[uredi | uredi izvor]

Razlog za ovako veliku razliku je da se od osoba može napraviti različitih parova; Broj mogućih parova raste sve brže sa rastećim brojem osoba u grupi, te ako u grupu dođe još osoba po redu, broj se parova povećava za . Uslov za ispunjenje pitanja je već ispunjen, ako se uspostavi jedan jedini par sa istim rođendanom. Kako je vjerovatnoća, imati na isti dan rođendan, za svaki par jednaka, broj parova sa povećanjem broja osoba brzo raste, povećava se i vjerovatnoća, da dvije osobe u jednoj grupi imaju isti dan, direkto sa povećanjem veličine grupe.

Praktični pristup[uredi | uredi izvor]

U stvarnosti broj rođenih po datumima nije ravnomjeran po danima. Tako je poznato da se ljeti rađa više djece nego zimi.[3] Time je i vjerovatnoća višlja, da osobe iz tog perioda imaju na isti dan rođendan.[4][5] Kako broj rođenih zavisi i takođe od klimatskih, socijalnih i društvenih prilika, ta je raspodjela uglavnom neravnomjena. Simulacije, na osnovu stvarnih podataka, pokazuju da vjerovatnoća rođendana u isti dan, u grupi od 23 osobe uvijek prelazi 50 %.[6] Takođe uračunavanjem prestupne godine i 29. februara, ne mijenja statističku vrijedost vjerovatnoće. Tako je npr. po podacima Statističkog zavoda Austrije broj rođenih u Austriji najveći krajem septembra, a najniži krajem decembra.[potreban citat]

Značaj u kriptografiji[uredi | uredi izvor]

Matematičko objašnjenje[uredi | uredi izvor]

Slijedeći dokaz je proračun vjerovatnoće, sa zanemarivanjem 29. februara, koji uzima rođendane neodređenog broja osoba , kao ravnomjerno raspoređenu slučajnu varijablu iz direktne ravnomjerne raspodjele iz skupa elemenata (D-datum) sa 365 članova D={1. jan., 2. jan., …, 31. dec.} Ovaj dokaz ne vrijedi, ako se u skupu osoba nalaze blizanci rođeni istog dana.

Vjerovatnoća da dvije osobe imaju rođendan isti dan[uredi | uredi izvor]

= Vjerovatnoća za najmanje jedan dvostruki rođendan
= Vjerovatnoća da se jedan rođendan poklapa sa unapred definiranim rođendanom
x-osa - Broj osoba;
y-osa - Vjerovatnoća;

Broj svih kombinacija za osoba je m = 365n, gdje sve varijante parova imaju istu vjerovatnoću. Tako npr. za dvije osobe broj kombinacija iznosi 3652 = 13.322.

Od ovih mogućih slučajeva

su broj različitih rođendana. Za prvu osobu iz skupa se može odabrati rođendan, za drugu je to 364 dana, u kojima prvoj osobi nije rođendan.

Na osnovu Laplasove formule, vjerovatnoća da sve osobe imaju različite rođendane iznosi:

Za broj osobe = 23 korištenjem ove formule dobije se:

Po Dirichletovom principu kutija, a isključivanjem 29. februara za sve slučajave > 365. je vjerovatnoća jednaka 1, što znači da se sa sigurnošču može tvrditi da u definisanom skupu postoje dvije osobe sa istim rođendanom. Ukoliko se 29. februar takođe računa, ovaj princip vrijedi za = 366.

Aproksimacija[uredi | uredi izvor]

Izraz P se aproksimativno može pojednostaviti kao:

a sa Stirlingovom formulom, može se približno izračunati i preko džepnog računara:

Vjerovatnoća za jedan određeni rođendan[uredi | uredi izvor]

Ako želimo izračunati vjerovatnoću za jedan određeni datum, te sa izostavljanjem 29. februara, onda je vjerovatnoća da jedna osoba ima isti rođendan, na jedan određeni definisani dan jednaka 1/365 ≈ 0,27 %. Suprotna vjerovatnoća, odnosno vjerovatnoća da ta osoba nema rođenadan na taj dan je:

U daljem slijedu, je vjerovatnoća da dvije osobe nemaju rođendan na taj dan je

Da bi najmanje jedna osoba od dvije, imala rođendan na taj dan, je suprotna vjerovatnoća gornjeg izraza :

Time je moguće izračunati, koliko osoba je potrebno, za ostvarivanje jedne određene vjerovatnoće P, da barem jedna osoba ima rođendan na taj dan:

odnosno za vjerovatnoću od 50 % potrebno je

osoba.

Vjerovatnoća za slučaj da jedna od osoba ima rođendan kao i druga osoba od preostalih je:

Za razliku od vjerovatnoće, kao ugornjem primjeru, da najmanje dvije osobe imaju rođendan na isti dan, ne postoji broj n, za koji se sa sigurnošću može tvrditi da za svaki određeni broj osoba, izabrani dan nije rođendan tih osoba. Za sve osobe n vrijedi

Slični problemi[uredi | uredi izvor]

Sličan problem je u memorijskoj igri Memory, gdje je cilj otkriti dvije iste karte, koje leže sa naličjem na stolu. Na početku igre, sve karte leže pokrivene, a cilj je igre okretanjem dviju karata naći isti par. Ovim se pravilom postavlja pitanje, koliko karata se mora otkriti da bi se sa nekom određenom vjerovatnoćom (50 %) moglo tvrditi da će otkrivene karte biti sa istim sadržajem.

Broj N označava broj različitih motiva karata i odgovara broju dana u godini (365) u rođendanskom paradoksu. Obično se igra Memory igra sa 32 para, ali moguće su i druge varijante, te se broj N može smatrati promjenljivim.

Definisanjem vjerovatnoće sa otkrivanjem broja karti n kao , u funkciji broja karti N, vrijednost se izračunava:

te za vrijednosti N = 32 sa 10 otkrivenih karti, može se sa vjerovatnoćom većom od 50 % tvrditi da će se otkriti dvije iste karte

(1 - P32(10) = 56,4 %).

Za vrijednost N=50 broj potrebnih karata je 12, a kod jedne hipotetički zamišljene igre sa 183 para, morale bi se otkriti 23 karte, kod 356 parova su 32 karte neophodne.Greška kod citiranja: Nevaljana oznaka <ref>; reference bez naziva moraju imati sadržaj

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

  • Problem sa skupljanjem sličica - gdje se analizira potreban broj sakupljenih sličica, da se sa odrešenom vjerovatnoćom može tvrditi, da su sve sličice u posjedu. Prenesno na rođendanski paradoks - postavlja se pitanje koliko osoba mora biti izabrano, da bi se moglo tvrditi da za svaki dan u godini postoji osoba sa rođendanom.
  • Lincoln-Kennedyjeva misterija

Napomene[uredi | uredi izvor]


Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Richard von Mises: Über Aufteilungs- und Besetzungswahrscheinlichkeiten Revue de la Faculté de Sciences de l'Université d'Istanbul N.S.4. 1938–39, Str. 145–163
  2. ^ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Bd. 3, Sorting and Searching. Second Edition, ISBN 0-201-89685-0. S. 513.
  3. ^ Emma Hawe, Alison Macfarlane and John Bithell: Daily and seasonal variation in live births, stillbirths and infant mortality in England and Wales, 1979–96 in Health Statistics Quarterly 9 Spring 2001 (PDF; 180 kB) S 7: There was a clear seasonal pattern in the number of daily live births throughout the entire period, with lower numbers of births in the winter than the summer months.
  4. ^ D. Bloom (1973): A birthday problem. American Mathematical Monthly, Bd. 80, S. 1141–1142 enthält einen Beweis mit Lagrange-Multiplikatoren, dass für nicht gleichmäßig verteilte Geburtstage die Wahrscheinlichkeit zunimmt, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
  5. ^ Stefan Kirchner in de.sci.mathematik, 3.novembnr 2005
  6. ^ Hugo Pfoertner in de.sci.mathematik, 22. januar 2005

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]