Zlatna funkcija

Zlatna funkcija

U matematici, zlatna funkcija predstavlja gornju granu hiperbole

${\frac {y^{2}-1}{y}}=x.$

U funkcionalnom obliku,

$y=\operatorname {zlatna} \ x={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}.$

Kada se definiše funkcija zlatna(x), donja grana hiperbole može se definisati kao y = −tlatna(−x). I zlatna(x) i −zlatna(−x) funkcija daju rješenja za a jednačine

$a-x-1/a=0\,$

ili, ako sve ponomžimo sa a, dobijamo

$a^{2}-xa-1=0.\,$

Primjenom kvadratne formule na gornju kvadratnu jednačinu u a pokazuje da je zlatna(x) pozitivan korjen jednačine, a da je −zlatna(−x) negativno rješenje. Vrijednost funkcije zlatna(1) je zlatni rez, a rješenje zlatna(2) daje srebreni rez 1 + √2.

Zlatna funkcije je povezana sa hiperboličkim sinusom preko identiteta

$\operatorname {arsinh} \ x=\ln \left(\operatorname {zlatna} \ 2x\right)$,

te, također, zadovoljava identitet

$\operatorname {zlatna} \ (x)\cdot \operatorname {zlatna} \ (-x)=1.$

Također pogledajte

• Hiperbolička funkcija