Funkcija identiteta

U matematici, funkcija identiteta, također nazvano preslikavanje identiteta, mapiranje identiteta ili transformacija identiteta, je funkcija koja uvjek vraća istu vrijednost jednako njenim argumentom. U smislu jednadžbi, ova funkcija se može izraziti kao f(x) = x.

Definicija

Ako je M skup, onda je funkcija identiteta f na M definirana kao funkcija sa domenom i kodomenom M koja zadovoljava f(x) = x, tj. f : M → M, za sve elemente x ∈ M. Funkcija identiteta f na M se također često označava kao id_M ili 1_M.

U pogledu teorije skupova, gdje je funkcija definirana kao pojedinačna vrsta binarne relacije, funkcija identiteta se može izraziti kao relacija identiteta ili dijagonala od M.

Algebarska osobina

Ako je f : M → N bilo koja funkcija, onda je f o id_M = f = id_N o f ("o" ovdje označava kompoziciju funkcije). Osobito id_M je neutralni element monoida za sve funkcije od M do M.

Pošto je neutralni element od monoida jedinstven, možemo ga definirati kao funkciju identiteta na M. Ovakva definicija uopćuje koncept morfizma identiteta u teoriji kategorija gdje endomorfizmi od M ne trebaju biti funkcije.

Osobine

• Funkcija identiteta je linearno preslikavanje kada se primjeni na vektorske prostore.
• Funkcija identiteta na pozitivne cijele brojeve je kompletno multiplikativna funkcija (u suštini multiplikacija sa brojem 1) koja je razmatra u teoriji brojeva.
• U n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, funkcija identiteta se predstavlja sa matricom identiteta I_n bez obzira na bazu.
• U metričkom prostoru identitet je očigledno izometrija. Objekat bez simetrije ima simetričnu grupu, koja je očigledna i posjeduje ovu izometriju (izometrija tipa C₁).

Također pogledajte

• Uključno preslikavanje