Green–Taova teorema

U teoriji brojeva, Green–Tao teorem, koji su dokazali Ben Green i Terence Tao 2004. godine, kaže da niz prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije. Drugim riječima, za svaki prirodni broj $k$ postoji aritmetička progresija prostih brojeva sa $k$ članova. Dokaz je proširenje Szemerédijevog teorema. Problem se može pratiti do istraživanja Lagrangea i Waringa iz oko 1770.^[1]

Tvrdnja[uredi | uredi izvor]

Neka $\pi (N)$ označava broj prostih brojeva koji su manji ili jednaki $N$ . Ako $A$ je podskup prostih brojeva tako da je

\limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,

onda za sve pozitivne cijele brojeve $k$ , set $A$ sadrži beskonačno mnogo aritmetičkih progresija dužine $k$ . Konkretno, cijeli skup prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije.

U svom kasnijem radu na generaliziranoj Hardy-Littlewood pretpostavci, Green i Tao su naveli i uslovno dokazali asimptotsku formulu

({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{(\log N)^{k}}}

za broj skupova prostih brojeva sa $k$ članova $p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N$ koji formiraju aritmetičku progresiju.^[2] Ovdje, ${\mathfrak {S}}_{k}$ je konstanta

{\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1-{\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.

Rezultat su bezuslovnim učinili Green–Tao^[3] i Green–Tao–Ziegler.^[4]

Skica dokaza[uredi | uredi izvor]

Green i Taoov dokaz ima tri glavne komponente:

Szemerédijev teorem, koji tvrdi da podskupovi cijelih brojeva sa pozitivnom gornjom gustinom imaju proizvoljno duge aritmetičke progresije. To se <i id="mwOw">a priori</i> ne odnosi na proste brojeve jer prosti brojevi imaju gustinu nula u cijelim brojevima.
Princip transfera koji proširuje Szemerédijev teorem na podskupove cijelih brojeva koji su pseudoslučajni u odgovarajućem smislu. Takav rezultat se sada zove relativni Szemerédijeva teorem.
Pseudoslučajni podskup cijelih brojeva koji sadrži proste brojeve kao gust podskup. Da bi konstruirali ovaj skup, Green i Tao su koristili ideje iz Goldstona, Pintza i Yıldırımovog rada o razmaku između prostih brojeva.^[5] Jednom kada se uspostavi pseudoslučajnost skupa, može se primijeniti princip prijenosa, čime se dovršava dokaz.

Pronađena su brojna pojednostavljenja argumenta u originalnom radu^[1]. Conlon, Fox i Zhao (2014) pružaju moderno izlaganje dokaza.

Numerički rad[uredi | uredi izvor]

Dokaz Green–Tao teorema ne pokazuje kako pronaći aritmetičke progresije prostih brojeva; samo dokazuje da postoje. Postojao je poseban računski rad za pronalaženje velikih aritmetičkih progresija u prostim brojevima.

Green–Tao dokument navodi "U vrijeme pisanja najduža poznata aritmetička progresija prostih brojeva je dužine 23, a pronašli su je 2004. Markus Frind, Paul Underwood i Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k ; k = 0, 1, . . ., 22.".

18. januara 2007. Jarosław Wróblewski je pronašao prvi poznati slučaj od 24 prostih broja u aritmetičkoj progresiji : ^[6]

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, za n = 0 do 23.

Konstanta 223,092,870 ovdje je proizvod prostih brojeva do 23, kompaktnije napisano kao 23#.

17. maja 2008. Wróblewski i Raanan Chermoni pronašli su prvi poznati slučaj od 25 prostih brojeva:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n, za n = 0 do 24.

12. aprila 2010, Benoît Perichon sa softverom Wróblewskog i Geoffa Reynoldsa u distribuiranom PrimeGrid projektu pronašao je prvi poznati slučaj od 26 prostih brojeva :

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n, za n = 0 do 25

U septembru 2019. Rob Gahan i PrimeGrid su pronašli prvi poznati slučaj od 27 prostih brojeva (niz A327760 u OEIS) 224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n, za n = 0 do 26.

Proširenja i generalizacije[uredi | uredi izvor]

Mnoga proširenja Szemerédijevog teorema vrijede i za proste brojeve.

Nezavisno, Tao i Ziegler^[7] i Cook, Magyar i Titichetrakun^[8] ^[9] su izveli multidimenzionalnu generalizaciju Green-Tao teoreme. Tao–Zieglerov dokaz su također pojednostavili Fox i Zhao.^[10]

Godine 2006. Tao i Ziegler su proširili Green-Tao teorem kako bi pokrili polinomske progresije.^[11]^[12] Preciznije, za bilo koji polinom s cijelobrojnim koeficijentima $P_{1},...,P_{k}$ s jednom nepoznatom $m$ i slobodnim članom $0$ , postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva $x$ takvih da su $x+P_{1}(m),...,x+P_{k}(m)$ istovremeno prosti. Poseban slučaj kada su polinomi $m,2m,...,km$ implicira prethodni rezultat da postoji aritmetička progresija prostih brojeva dužine $k$ .

Tao je dokazao analogon Green–Tao teorema za Gausove proste brojeve . ^[13]

Vidi također[uredi | uredi izvor]

Erdősova pretpostavka o aritmetičkim progresijama
Dirichletov teorem o aritmetičkim progresijama
Aritmetička kombinatorika

Reference[uredi | uredi izvor]

^ ^a ^b Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. MR 2415379.. Greška kod citiranja: Neispravna oznaka <ref>; naziv "green-tao" definiran je nekoliko puta s različitim sadržajem
^ Green, Ben; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes". Annals of Mathematics. 171 (3): 1753–1850. arXiv:math/0606088. doi:10.4007/annals.2010.171.1753. MR 2680398.
^ Green, Ben; Tao, Terence (2012). "The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences". Annals of Mathematics. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007/annals.2012.175.2.3. MR 2877066.
^ Green, Ben; Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2012). "An inverse theorem for the Gowers $U^{s+1}[N]$ -norm". Annals of Mathematics. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007/annals.2012.176.2.11. MR 2950773.
^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). "Primes in tuples. I". Annals of Mathematics. 170 (2): 819–862. arXiv:math/0508185. doi:10.4007/annals.2009.170.819. MR 2552109.
^ Andersen, Jens Kruse. "Primes in Arithmetic Progression Records". Pristupljeno 2015-06-27.
^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2015). "A multi-dimensional Szemerédi theorem for the primes via a correspondence principle". Israel Journal of Mathematics. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007/s11856-015-1157-9. MR 3358045.
^ Cook, Brian; Magyar, Ákos (2012). "Constellations in $\mathbb {P} ^{d}$ ". International Mathematics Research Notices. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093/imrn/rnr127. MR 2942710.
^ Cook, Brian; Magyar, Ákos; Titichetrakun, Tatchai (2018). "A Multidimensional Szemerédi Theorem in the primes via Combinatorics". Annals of Combinatorics. 22 (4): 711–768. arXiv:1306.3025. doi:10.1007/s00026-018-0402-4.
^ Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2015). "A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes". American Journal of Mathematics. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353/ajm.2015.0028. MR 3372317.
^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008). "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math/0610050. doi:10.1007/s11511-008-0032-5. MR 2461509.
^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2013). "Erratum to "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions"". Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007/s11511-013-0097-7. MR 3070570.
^ Tao, Terence (2006). "The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations". Journal d'Analyse Mathématique. 99 (1): 109–176. arXiv:math/0501314. doi:10.1007/BF02789444. MR 2279549.

Dalje čitanje[uredi | uredi izvor]

Conlon, David; Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2014). "The Green–Tao theorem: an exposition". EMS Surveys in Mathematical Sciences. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. doi:10.4171/EMSS/6. MR 3285854.
Gowers, Timothy (2010). "Decompositions, approximate structure, transference, and the Hahn–Banach theorem". Bulletin of the London Mathematical Society. 42 (4): 573–606. arXiv:0811.3103. doi:10.1112/blms/bdq018. MR 2669681.
Green, Ben (2007). "Long arithmetic progressions of primes". u Duke, William; Tschinkel, Yuri (ured.). Analytic number theory. Clay Mathematics Proceeding. 7. Providence, RI: American Mathematical Society. str. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9. MR 2362199.
Host, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Arithmetical progressions in the primes (after B. Green and T. Tao)] (PDF). Astérisque (jezik: francuski) (307): 229–246. arXiv:math/0609795. Bibcode:2006math......9795H. MR 2296420.
Kra, Bryna (2006). "The Green–Tao theorem on arithmetic progressions in the primes: an ergodic point of view". Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi:10.1090/S0273-0979-05-01086-4. MR 2188173.
Tao, Terence (2006). "Arithmetic progressions and the primes". Collectanea Mathematica. Extra: 37–88. MR 2264205. Arhivirano s originala, 2015-08-05. Pristupljeno 2015-06-05.
Tao, Terence (2006). "Obstructions to uniformity and arithmetic patterns in the primes". Pure and Applied Mathematics Quarterly. 2 (2): 395–433. arXiv:math/0505402. doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2. MR 2251475.
Tao, Terence (2008-01-07). "AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers".

[green-tao-1] Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. MR 2415379.. Greška kod citiranja: Neispravna oznaka <ref>; naziv "green-tao" definiran je nekoliko puta s različitim sadržajem

[2] Green, Ben; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes". Annals of Mathematics. 171 (3): 1753–1850. arXiv:math/0606088. doi:10.4007/annals.2010.171.1753. MR 2680398.

[3] Green, Ben; Tao, Terence (2012). "The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences". Annals of Mathematics. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007/annals.2012.175.2.3. MR 2877066.

[4] Green, Ben; Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2012). "An inverse theorem for the Gowers $U^{s+1}[N]$ -norm". Annals of Mathematics. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007/annals.2012.176.2.11. MR 2950773.

[5] Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). "Primes in tuples. I". Annals of Mathematics. 170 (2): 819–862. arXiv:math/0508185. doi:10.4007/annals.2009.170.819. MR 2552109.

[6] Andersen, Jens Kruse. "Primes in Arithmetic Progression Records". Pristupljeno 2015-06-27.

[7] Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2015). "A multi-dimensional Szemerédi theorem for the primes via a correspondence principle". Israel Journal of Mathematics. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007/s11856-015-1157-9. MR 3358045.

[8] Cook, Brian; Magyar, Ákos (2012). "Constellations in $\mathbb {P} ^{d}$ ". International Mathematics Research Notices. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093/imrn/rnr127. MR 2942710.

[9] Cook, Brian; Magyar, Ákos; Titichetrakun, Tatchai (2018). "A Multidimensional Szemerédi Theorem in the primes via Combinatorics". Annals of Combinatorics. 22 (4): 711–768. arXiv:1306.3025. doi:10.1007/s00026-018-0402-4.

[10] Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2015). "A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes". American Journal of Mathematics. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353/ajm.2015.0028. MR 3372317.

[11] Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008). "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math/0610050. doi:10.1007/s11511-008-0032-5. MR 2461509.

[12] Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2013). "Erratum to "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions"". Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007/s11511-013-0097-7. MR 3070570.

[13] Tao, Terence (2006). "The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations". Journal d'Analyse Mathématique. 99 (1): 109–176. arXiv:math/0501314. doi:10.1007/BF02789444. MR 2279549.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]