Green–Taova teorema
U teoriji brojeva, Green–Tao teorem, koji su dokazali Ben Green i Terence Tao 2004. godine, kaže da niz prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije. Drugim riječima, za svaki prirodni broj postoji aritmetička progresija prostih brojeva sa članova. Dokaz je proširenje Szemerédijevog teorema. Problem se može pratiti do istraživanja Lagrangea i Waringa iz oko 1770.[1]
Tvrdnja
[uredi | uredi izvor]Neka označava broj prostih brojeva koji su manji ili jednaki . Ako je podskup prostih brojeva tako da je
onda za sve pozitivne cijele brojeve , set sadrži beskonačno mnogo aritmetičkih progresija dužine . Konkretno, cijeli skup prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije.
U svom kasnijem radu na generaliziranoj Hardy-Littlewood pretpostavci, Green i Tao su naveli i uslovno dokazali asimptotsku formulu
za broj skupova prostih brojeva sa članova koji formiraju aritmetičku progresiju.[2] Ovdje, je konstanta
Rezultat su bezuslovnim učinili Green–Tao[3] i Green–Tao–Ziegler.[4]
Skica dokaza
[uredi | uredi izvor]Green i Taoov dokaz ima tri glavne komponente:
- Szemerédijev teorem, koji tvrdi da podskupovi cijelih brojeva sa pozitivnom gornjom gustinom imaju proizvoljno duge aritmetičke progresije. To se <i id="mwOw">a priori</i> ne odnosi na proste brojeve jer prosti brojevi imaju gustinu nula u cijelim brojevima.
- Princip transfera koji proširuje Szemerédijev teorem na podskupove cijelih brojeva koji su pseudoslučajni u odgovarajućem smislu. Takav rezultat se sada zove relativni Szemerédijeva teorem.
- Pseudoslučajni podskup cijelih brojeva koji sadrži proste brojeve kao gust podskup. Da bi konstruirali ovaj skup, Green i Tao su koristili ideje iz Goldstona, Pintza i Yıldırımovog rada o razmaku između prostih brojeva.[5] Jednom kada se uspostavi pseudoslučajnost skupa, može se primijeniti princip prijenosa, čime se dovršava dokaz.
Pronađena su brojna pojednostavljenja argumenta u originalnom radu[1]. Conlon, Fox i Zhao (2014) pružaju moderno izlaganje dokaza.
Numerički rad
[uredi | uredi izvor]Dokaz Green–Tao teorema ne pokazuje kako pronaći aritmetičke progresije prostih brojeva; samo dokazuje da postoje. Postojao je poseban računski rad za pronalaženje velikih aritmetičkih progresija u prostim brojevima.
Green–Tao dokument navodi "U vrijeme pisanja najduža poznata aritmetička progresija prostih brojeva je dužine 23, a pronašli su je 2004. Markus Frind, Paul Underwood i Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k ; k = 0, 1, . . ., 22.".
18. januara 2007. Jarosław Wróblewski je pronašao prvi poznati slučaj od 24 prostih broja u aritmetičkoj progresiji : [6]
- 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, za n = 0 do 23.
Konstanta 223,092,870 ovdje je proizvod prostih brojeva do 23, kompaktnije napisano kao 23#.
17. maja 2008. Wróblewski i Raanan Chermoni pronašli su prvi poznati slučaj od 25 prostih brojeva:
- 6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n, za n = 0 do 24.
12. aprila 2010, Benoît Perichon sa softverom Wróblewskog i Geoffa Reynoldsa u distribuiranom PrimeGrid projektu pronašao je prvi poznati slučaj od 26 prostih brojeva :
- 43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n, za n = 0 do 25
U septembru 2019. Rob Gahan i PrimeGrid su pronašli prvi poznati slučaj od 27 prostih brojeva (niz A327760 u OEIS) 224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n, za n = 0 do 26.
Proširenja i generalizacije
[uredi | uredi izvor]Mnoga proširenja Szemerédijevog teorema vrijede i za proste brojeve.
Nezavisno, Tao i Ziegler[7] i Cook, Magyar i Titichetrakun[8] [9] su izveli multidimenzionalnu generalizaciju Green-Tao teoreme. Tao–Zieglerov dokaz su također pojednostavili Fox i Zhao.[10]
Godine 2006. Tao i Ziegler su proširili Green-Tao teorem kako bi pokrili polinomske progresije.[11][12] Preciznije, za bilo koji polinom s cijelobrojnim koeficijentima s jednom nepoznatom i slobodnim članom , postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva takvih da su istovremeno prosti. Poseban slučaj kada su polinomi implicira prethodni rezultat da postoji aritmetička progresija prostih brojeva dužine .
Tao je dokazao analogon Green–Tao teorema za Gausove proste brojeve . [13]
Vidi također
[uredi | uredi izvor]- Erdősova pretpostavka o aritmetičkim progresijama
- Dirichletov teorem o aritmetičkim progresijama
- Aritmetička kombinatorika
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ a b Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. MR 2415379.. Greška kod citiranja: Neispravna oznaka
<ref>
; naziv "green-tao" definiran je nekoliko puta s različitim sadržajem - ^ Green, Ben; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes". Annals of Mathematics. 171 (3): 1753–1850. arXiv:math/0606088. doi:10.4007/annals.2010.171.1753. MR 2680398.
- ^ Green, Ben; Tao, Terence (2012). "The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences". Annals of Mathematics. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007/annals.2012.175.2.3. MR 2877066.
- ^ Green, Ben; Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2012). "An inverse theorem for the Gowers -norm". Annals of Mathematics. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007/annals.2012.176.2.11. MR 2950773.
- ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). "Primes in tuples. I". Annals of Mathematics. 170 (2): 819–862. arXiv:math/0508185. doi:10.4007/annals.2009.170.819. MR 2552109.
- ^ Andersen, Jens Kruse. "Primes in Arithmetic Progression Records". Pristupljeno 2015-06-27.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2015). "A multi-dimensional Szemerédi theorem for the primes via a correspondence principle". Israel Journal of Mathematics. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007/s11856-015-1157-9. MR 3358045.
- ^ Cook, Brian; Magyar, Ákos (2012). "Constellations in ". International Mathematics Research Notices. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093/imrn/rnr127. MR 2942710.
- ^ Cook, Brian; Magyar, Ákos; Titichetrakun, Tatchai (2018). "A Multidimensional Szemerédi Theorem in the primes via Combinatorics". Annals of Combinatorics. 22 (4): 711–768. arXiv:1306.3025. doi:10.1007/s00026-018-0402-4.
- ^ Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2015). "A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes". American Journal of Mathematics. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353/ajm.2015.0028. MR 3372317.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008). "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math/0610050. doi:10.1007/s11511-008-0032-5. MR 2461509.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2013). "Erratum to "The primes contain arbitrarily long polynomial progressions"". Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007/s11511-013-0097-7. MR 3070570.
- ^ Tao, Terence (2006). "The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations". Journal d'Analyse Mathématique. 99 (1): 109–176. arXiv:math/0501314. doi:10.1007/BF02789444. MR 2279549.
Dalje čitanje
[uredi | uredi izvor]- Conlon, David; Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2014). "The Green–Tao theorem: an exposition". EMS Surveys in Mathematical Sciences. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. doi:10.4171/EMSS/6. MR 3285854.
- Gowers, Timothy (2010). "Decompositions, approximate structure, transference, and the Hahn–Banach theorem". Bulletin of the London Mathematical Society. 42 (4): 573–606. arXiv:0811.3103. doi:10.1112/blms/bdq018. MR 2669681.
- Green, Ben (2007). "Long arithmetic progressions of primes". u Duke, William; Tschinkel, Yuri (ured.). Analytic number theory. Clay Mathematics Proceeding. 7. Providence, RI: American Mathematical Society. str. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9. MR 2362199.
- Host, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Arithmetical progressions in the primes (after B. Green and T. Tao)] (PDF). Astérisque (jezik: francuski) (307): 229–246. arXiv:math/0609795. Bibcode:2006math......9795H. MR 2296420.
- Kra, Bryna (2006). "The Green–Tao theorem on arithmetic progressions in the primes: an ergodic point of view". Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi:10.1090/S0273-0979-05-01086-4. MR 2188173.
- Tao, Terence (2006). "Arithmetic progressions and the primes". Collectanea Mathematica. Extra: 37–88. MR 2264205. Arhivirano s originala, 2015-08-05. Pristupljeno 2015-06-05.
- Tao, Terence (2006). "Obstructions to uniformity and arithmetic patterns in the primes". Pure and Applied Mathematics Quarterly. 2 (2): 395–433. arXiv:math/0505402. doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2. MR 2251475.
- Tao, Terence (2008-01-07). "AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers".