Kroneckerova lema

U matematici, Kroneckerova lema je rezultat odnosa između konvergencije beskonačnih suma i konvergencije redova. Lema se često koristi kao dio dokaza teroma o sumama nezavisnih slučajnih promjenljivih kao što je zakon velikih brojeva. Lema je dobila naziv po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru.

Lema

Ako je $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ beskonačan niz realnih brojeva takav da

$\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$

postoji i da je konačna, tada imamo za $0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots$ i $b_{n}\to \infty$ da vrijedi

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.$

Dokaz

Neka $S_{k}$ označava parcijalnu sumu od x'. Koristeći sumiranje po članovima,

${\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}$

Izabiremo bilo koji broj ε > 0. Zatim biramo N tako da je$S_{k}$ za ε blizu s za k > N. Ovo se može uraditi kako red $S_{k}$ konvergira u s. Tada je desna strana jednaka:

$S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}=$

$=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)=$

$=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)$

Sada, neka n ide u beskonačnost. Prvi član teži u s, koji se poništi sa trećim članom. Drugi član teži u nulu (pošto je suma fiksan broj). Pošto je red b rastući, zadnji član je ograničen sa $\epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon$.

Reference

Ovaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.