Pascalov trougao

Svaki broj u Pascalovom trouglu je suma dva susjedna broja u redu iznad njega.

Prvih šest redova Pascalovog trougla

Yang Huiov (Pascalov) trougao kao što je prikazano na drevnim kineskim računalima pomoću štapova za brojanje.

Pascalov trougao je termin prema autoru djela Traité du triangle arithmétique (Rasprava o aritmetičkom trouglu) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih znalaca o trokutu i zaposlio ih na rješavanjanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik zapadnjačkog imena.

U matematici, Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)ⁿ. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji. Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.

Redovi Pascalovog trougla su konvencionalno poredani počevši od reda n = 0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz početak sa k = 0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj  1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$,

onda

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

za bilo koju ne-negativni cijeli broj n i bilo cijeli K između 0 i n . Pascalov trougao ima višedimenziske generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove Pascalova piramida ili Pascalov tetraedar, dok je opšta verzije nazivaju Pascalove jednadžbe.

Prirodni brojevi

Prirodni i trouglasti brojevi u Pascalovom trouglu

Na kracina trougla nalaze se sve same jedinice. Niz njima susjednih brojeva čini skup prirodnih brojeva

Potencije broja 2

Zbir brojeva u pojedinom redu Pascalovog trougla daje potenciju broja 2. Tako je

1. red jednak $1=2^{0}$
2. red jednak $1+1=2^{1}$
3. red jednak $1+2+1=2^{2}$
4. red jednak $1+3+3+1=2^{3}$
5. red jednak $1+4+6+4+1=2^{4}$
6. red jednak $1+5+10+10+5+1=2^{5}$

${n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.$

Potencije broja 11

Posmatramo li brojeve jednog reda kao cifre jednog broja, dolazi se do zanimljivog otkrić da se radi o potencijama broja 11. Tako je

• $1=11^{0}$
• $11=11^{1}$
• $121=11^{2}$
• $1331=11^{3}$
• $14641=11^{4}$

Od šestog reda pa nadalje dvocifrene brojeve čitamo na drugi način. Kako imamo brojeve 1, 5,10, 10,5, 1 čita,o ih na sčkedeći način $1(5+1)(0+1)(0+5)051$ tj. $161051=11^{5}$

Figurativni brojevi

Stari su Grci posebnu pažnju posvečivali su figurativnim brojevima. To su brojevi koji se mogu pravilno rasporediti po stranicama i unutrašnjosti pravilnih poligona. Tako imamo trouglaste, četverouglaste, petougaone i šestougaone brojeve

Niz trougaonih brojeva nalazimo u Pascalovom trouglu do niza prirodnih brojeva. Formula opšteg člana niza je $T(n)={\frac {1}{2}}n(n+1)$

Tetraedarni brojevi 1, 4, 10, 20, 35, 56,84, predstavljaju niz parcijalnih zbirova trouglastih brojeva. U trouglu ih nalazimo na mjestu četvrte dijagonale Formula opšteg člana niza je $T(n)={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)$

Geometrijski se ti brojevi mogu prikazati kao pravilno raspoređene tačke po bridovima, stranama i u unutrašnjosti tetraedra

Formula za rješenje problema ${\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}$

Catalanovi brojevi

Catalanovi brojevi u Pascalovom trouglu nisu uočljivi na prvi pogled. Oni se dobijaju razlikom odgovarajućih parova brojeva u odabranim stupcima. Na slici istaknuti su crvenoo bojenim stupcima. Razlika brojeva tih stupaca u istom redu predstavlja Catalanove brojeve. Isto vrijedi i za stupce

Binomni koeficijenti

Pascalov trougao se veže uz binomni teorem. Koeficienti pojedinih redova Pascalovog trougla predstavljau binomne koeficiente. označavaju se sa ${\tbinom {n}{k}}$, gdje je n broj reda , k broj koeficienta u redu.

Za binomne koeficijente vrijedi simetričnost tj${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}$, pa su i redovi u Pascalovom trouglu simetrični.

$(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

$(x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

${\begin{aligned}&\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+x^{0}+x^{n+1}\end{aligned}}$

Izvor

Pascalov ili kineski trougao

Također pogledajte

• Aritmetika
• Binom