Pascalov trougao

Pascalov trougao je termin prema autoru djela Traité du triangle arithmétique (Rasprava o aritmetičkom trouglu) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih znalaca o trokutu i zaposlio ih na rješavanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik zapadnjačkog imena.[1]
U matematici, Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)n. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji.[2] Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.[3]
Redovi Pascalovog trougla su konvencionalno poredani počevši od reda n = 0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz početak sa k = 0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj 1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.
- ,
onda
za bilo koju ne-negativni cijeli broj n i bilo cijeli K između 0 i n . [4] Pascalov trougao ima višedimenziske generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove Pascalova piramida ili Pascalov tetraedar, dok je opšta verzije nazivaju Pascalove jednadžbe.
Potencije broja 2[uredi | uredi izvor]
Zbir brojeva u pojedinom redu Pascalovog trougla daje potenciju broja 2. Tako je
- red jednak
- red jednak
- red jednak
- red jednak
- red jednak
- red jednak
Potencije broja 11[uredi | uredi izvor]
Posmatramo li brojeve jednog reda kao cifre jednog broja, dolazi se do zanimljivog otkrić da se radi o potencijama broja 11. Tako je
Od šestog reda pa nadalje dvocifrene brojeve čitamo na drugi način. Kako imamo brojeve 1, 5,10, 10,5, 1 čita,o ih na sčkedeći način tj.
Figurativni brojevi[uredi | uredi izvor]
Stari su Grci posebnu pažnju posvečivali su figurativnim brojevima. To su brojevi koji se mogu pravilno rasporediti po stranicama i unutrašnjosti pravilnih poligona. Tako imamo trouglaste, četverouglaste, petougaone i šestougaone brojeve
Niz trougaonih brojeva nalazimo u Pascalovom trouglu do niza prirodnih brojeva. Formula opšteg člana niza je
Tetraedarni brojevi 1, 4, 10, 20, 35, 56,84, predstavljaju niz parcijalnih zbirova trouglastih brojeva. U trouglu ih nalazimo na mjestu četvrte dijagonale Formula opšteg člana niza je
Geometrijski se ti brojevi mogu prikazati kao pravilno raspoređene tačke po bridovima, stranama i u unutrašnjosti tetraedra
Formula za rješenje problema
Binomni koeficijenti[uredi | uredi izvor]
Pascalov trougao se veže uz binomni teorem. Koeficienti pojedinih redova Pascalovog trougla predstavljau binomne koeficiente. označavaju se sa , gdje je n broj reda , k broj koeficienta u redu.
Za binomne koeficijente vrijedi simetričnost tj, pa su i redovi u Pascalovom trouglu simetrični.
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ {{Cite journal | doi = 10.2307/2975209 | title = The Binomial Coefficient Function | last = Fowler D.| authorlink = Fowler D.| journal = The American Mathematical Monthly | volume = 103 | issue = 1 |1996 | pages = 1–17 | jstor = 2975209.
- ^ Maurice Winternitz M. : History of Indian Literature, Vol. III
- ^ {{cite book |author=Peter Fox |title=Cambridge University Library: the great collections|url=http://books.google.com/books?id=xxlgKP5thL8C&pg=PA13 |year=1998 |publisher=Cambridge University Press |ISBN=978-0-521-62647-7.
- ^ The binomial coefficient konvencijski set za 0 ako je k isto ili manje od 0 ili veće od n.