Euklidov vektor

Vektor AB

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju -{K}-. Na primjer:

$a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n)$, $a_i \in K$, $i = 1, ... ,n$

Je jedan -{n}--dimenzionalni vektor nad poljem -{K}-. Pojam -{n}--dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću -{n}- skalara. Prostor ovih vektora se još naziva $K^n$, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj -{n}--torki koordinate vekrora. Na primjer $a_1$ je prva koordinata vektora, $a_2$ je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n$
$|a| = \sqrt{{\sum_{i=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora $\overrightarrow{a} \in K^n$ nekim skalarom $\alpha \in K$ je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

$\alpha \cdot \overrightarrow{a}$ = $\alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ = $(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).$

Sabiranje vektora

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora $a, b \in K^n\,$:

$\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)$
$\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)$

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

$+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,$
$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,
$c_i = a_i + b_i\,$, gde je $i=1,...,n\,$

Pri čemu će vektor -{c}- biti iz prostora $K^n\,$. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

Pri čemu $-\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n)$.

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja -{K}-. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz $K^n$ u stvari jedan skalar iz -{K}-. Konkretno za dva vektora -{a}- i -{b}- iz $K^n$ bi proizvod -{k}- izgledao ovako:

$\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K$
$k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$, $k \in K$
$k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}$, gde je $i=1,...,n$

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

$k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a|\cdot|b| \cdot \cos \omega$,

pri čemu je $\omega$ ugao između -{a}- i -{b}-.

Ovo zapravo znači i:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore ($E^3\,$) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

$\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =$ $\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)=$ $\begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

Jer su $\overrightarrow{i}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{j}=(0,1,0)$ i $\overrightarrow{k}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze $E^3\,$.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega$, gde je $\omega$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
$(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$, gde je $\alpha \in E$. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz $E^3$ preslikava u skalar iz -{E}-. Zapisuje se sa $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$. A po definiciji je:

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} =$ $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix},$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3$

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

• $[x,y,z] = -[y,x,z]$
• $[x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]$
• $[\alpha x,y,z] = \alpha [x,y,z]$
• $[x+t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]$