S Wikipedije, slobodne enciklopedije
U algebri , Binet–Cauchyjev identitet ,[ 1] Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju , kaže da je
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena ).
Ako uzmemo da je ai = ci i bi = di , dobijamo Lagrangeov identitet , koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor
R
n
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}
Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda , respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda . To možemo zapisati kao
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
=
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
+
(
a
∧
b
)
⋅
(
c
∧
d
)
{\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)\,}
gdje su a , b , c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda
(
a
∧
b
)
⋅
(
c
∧
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
.
{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).\,}
Proširenjem posljednjeg člana,
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
{\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
c
i
b
j
d
j
+
a
j
c
j
b
i
d
i
)
+
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
b
i
d
i
−
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
d
i
b
j
c
j
+
a
j
d
j
b
i
c
i
)
−
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
b
i
c
i
{\displaystyle =\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}
gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
c
i
b
j
d
j
−
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
d
i
b
j
c
j
.
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}
Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i .
Jacques Binet Augustin-Louis Cauchy 
