Binet–Cauchyjev identitet

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U algebri, Binet–Cauchyjev identitet, koji je naziv dobio po Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju, kaže da je

za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena). Ako uzmemo da je ai = ci i bi = di, dobijamo Lagrangeov identitet, koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor .

Binet–Cauchyjev identitet i vanjska algebra[uredi | uredi izvor]

Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda, respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda. To možemo zapisati kao

gdje su a, b, c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Proširenjem posljednjeg člana,

gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:

Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i.